Um ponto é escolhido ao acaso dentro de uma circunferência de raio R. Qual a probabilidade deste ponto estar dentro do:
(5.4) hexágono regular inscrito nesta circunferência

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a probabilidade de um ponto escolhido aleatoriamente dentro de uma circunferência de raio estar também dentro de um hexágono regular inscrito nessa circunferência. Para isso, vamos usar conceitos de geometria, especificamente o cálculo de áreas.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a área da circunferência. A fórmula para a área de uma circunferência é:
Acircunferência = pi R^2 ê

Passo 3

Em seguida, vamos calcular a área do hexágono regular inscrito na circunferência. Um hexágono regular tem 6 lados iguais e pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros. A área de um triângulo equilátero com lado Atriângulo = raiz34 L^2 é:
Atriângulo = raiz34 R^2 â
No nosso caso, o lado do hexágono é igual ao raio da circunferência, então:
â

Passo 4

Como o hexágono é composto por 6 desses triângulos, a área total do hexágono é:
Ahexágono = 6 times raiz34 R^2 = 3raiz32 R^2 á

Passo 5

Agora, para encontrar a probabilidade de o ponto estar dentro do hexágono, dividimos a área do hexágono pela área da circunferência:
P = AhexágonoAcircunferência = 3raiz32 R^2pi R^2 = 3raiz32pi áê

Resposta

A probabilidade de o ponto estar dentro do hexágono é , aproximadamente igual a 0,82699 ou 82,7%.

Exercícios relacionados