A distribuição X dos salários, em s.m., dos operários do sexo masculino de uma grande empresa é tal que X sim N(5.4,1.69); e a distribuição Y dos salários do sexo feminino é tal que Y sim N(5.4,2.25). Sorteiam-se duas amostras casuais simples, uma X1, X2, ldots, X16 com 16 homens e outra Y1, Y2, ldots, Y25 com 25 mulheres. Se barD=barX-barY, calcule P(|barD|>0,5).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre os salários de operários masculinos e femininos em uma grande empresa. A gente tem duas distribuições normais:
  • Masculino (X): Média = 5.4 s.m., Variância = 1.69
  • Feminino (Y): Média = 5.4 s.m., Variância = 2.25
São sorteadas amostras: 16 homens e 25 mulheres. Queremos descobrir a probabilidade de a diferença entre as médias das amostras ( barD = barX - barY) ser maior que 0,5 em valor absoluto, ou seja, P(|barD| > 0,5).
Vamos precisar usar:
  • Propriedades das distribuições normais
  • Teorema do limite central
  • Cálculo de probabilidades para distribuições normais

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de barX e barY. Como X e Y são normais, as médias das amostras barX e barY também são normais.
A média de barX será a mesma da população masculina:
mubarX = 5.4
E o desvio padrão da média de barX é:
sigmabarX = raiz1.69raiz16 = 1.34 = 0.325
Para as mulheres:
mubarY = 5.4
sigmabarY = raiz2.25raiz25 = 1.55 = 0.3

Passo 3

Agora, queremos a distribuição da diferença barD = barX - barY. Como barX e barY são independentes, a média de barD será:
mubarD = mubarX - mubarY = 5.4 - 5.4 = 0
E a variância de barD será a soma das variâncias de barX e barY:
sigmabarD^2 = sigmabarX^2 + sigmabarY^2 = 0.325^2 + 0.3^2 = 0.1056 + 0.09 = 0.1956
Então, o desvio padrão de barD é:
sigmabarD = raiz0.1956 approx 0.4423

Passo 4

Queremos calcular P(|barD| > 0,5). Isso é o mesmo que:
P(barD > 0,5) + P(barD < -0,5)
Como a distribuição é simétrica em torno de zero, podemos calcular:
2 times P(barD > 0,5)
Vamos padronizar a variável barD para usar a tabela da distribuição normal padrão (Z).

Passo 5

A fórmula para padronizar é:
Z = barD - mubarDsigmabarD = barD - 00.4423 = barD0.4423
Para barD = 0,5:
Z = 0,50.4423 approx 1,131

Passo 6

Agora, vamos encontrar P(Z > 1,131) usando a tabela da distribuição normal padrão.
Consultando a tabela, encontramos que:
P(Z > 1,131) approx 0,129
Então, a probabilidade total é:
2 times 0,129 = 0,258

Resposta

A probabilidade de a diferença entre as médias das amostras ser maior que 0,5 em valor absoluto é aproximadamente 25,8%.

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