A distribuição
dos salários, em s.m., dos operários do sexo masculino de uma grande empresa é tal que
; e a distribuição
dos salários do sexo feminino é tal que
. Sorteiam-se duas amostras casuais simples, uma
com 16 homens e outra
com 25 mulheres. Se
, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre os salários de operários masculinos e femininos em uma grande empresa. A gente tem duas distribuições normais:
- Masculino (X): Média = 5.4 s.m., Variância = 1.69
- Feminino (Y): Média = 5.4 s.m., Variância = 2.25
São sorteadas amostras: 16 homens e 25 mulheres. Queremos descobrir a probabilidade de a diferença entre as médias das amostras (
) ser maior que 0,5 em valor absoluto, ou seja,
.
Vamos precisar usar:
- Propriedades das distribuições normais
- Teorema do limite central
- Cálculo de probabilidades para distribuições normais
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição de
e
. Como
e
são normais, as médias das amostras
e
também são normais.
A média de
será a mesma da população masculina:
E o desvio padrão da média de
é:
Para as mulheres:
Passo 3
Agora, queremos a distribuição da diferença
. Como
e
são independentes, a média de
será:
E a variância de
será a soma das variâncias de
e
:
Então, o desvio padrão de
é:
Passo 4
Queremos calcular
. Isso é o mesmo que:
Como a distribuição é simétrica em torno de zero, podemos calcular:
Vamos padronizar a variável
para usar a tabela da distribuição normal padrão (Z).
Passo 5
A fórmula para padronizar é:
Para
:
Passo 6
Agora, vamos encontrar
usando a tabela da distribuição normal padrão.
Consultando a tabela, encontramos que:
Então, a probabilidade total é:
Resposta
A probabilidade de a diferença entre as médias das amostras ser maior que 0,5 em valor absoluto é aproximadamente 25,8%.