Uma faculdade quer verificar se os alunos estão dedicando, em média, menos de 3 horas por dia ao uso de redes sociais. Esta informação é relevante para entender o nível de engajamento dos alunos em atividades acadêmicas, especialmente em comparação com o tempo gasto nas redes sociais. Como a faculdade não conhece a média e a variância para toda a população de alunos, ela faz uma pesquisa com 20 alunos. O resultado da amostra mostra que o tempo médio de uso diário das redes sociais é de 2,6 horas, com um desvio padrão amostral de 0,8 horas. Objetivo: Testar, ao nível de significância de 5% e 3%, se o tempo médio de uso de redes sociais pelos alunos é realmente menor que 3 horas.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. A faculdade quer saber se, em média, os alunos estão usando menos de 3 horas por dia nas redes sociais. Para isso, ela fez uma pesquisa com 20 alunos e encontrou uma média de 2,6 horas de uso diário, com um desvio padrão de 0,8 horas. Nosso objetivo é testar, nos níveis de significância de 5% e 3%, se essa média realmente é menor que 3 horas. Vamos usar conceitos de Estatística Inferencial, especificamente o teste t para médias.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses que queremos testar:
- Hipótese nula (H₀): A média de uso diário das redes sociais é igual a 3 horas. Matematicamente, H₀: μ = 3.
- Hipótese alternativa (H₁): A média de uso diário das redes sociais é menor que 3 horas. Matematicamente, H₁: μ < 3.
Passo 3
Escolhemos os níveis de significância que serão usados para o teste: 5% (0,05) e 3% (0,03). Esses níveis indicam a probabilidade de rejeitarmos a hipótese nula quando ela é verdadeira.
Passo 4
Como não conhecemos a variância da população, usamos o teste t. A fórmula para calcular o valor t é:
Onde:
-
= média amostral = 2,6 horas -
= média hipotética = 3 horas -
= desvio padrão amostral = 0,8 horas -
= tamanho da amostra = 20
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os valores críticos da distribuição t para os níveis de significância de 5% e 3% em um teste unilateral (à esquerda) com 19 graus de liberdade (n - 1 = 20 - 1).
Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora estatística:
- Para 5% de significância, $ t_{crítico} \approx -1,729 $
- Para 3% de significância, $ t_{crítico} \approx -2,093 $
Passo 6
Comparamos o valor calculado de t com os valores críticos:
- Para α = 5%: -2,24 < -1,729 → Rejeitamos H₀
- Para α = 3%: -2,24 < -2,093 → Rejeitamos H₀
Passo 7
Como o valor calculado de t é menor que os valores críticos nos dois níveis de significância, temos evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula em ambos os casos. Isso sugere que, de fato, a média de uso diário das redes sociais pelos alunos é menor que 3 horas.
Resposta
A análise estatística mostrou que, nos níveis de significância de 5% e 3%, há evidências suficientes para concluir que a média de uso diário das redes sociais pelos alunos é menor que 3 horas.