Uma faculdade deseja avaliar se a distância média entre a instituição e a residência dos alunos é maior do que 20 km . Essa informação é importante, pois a faculdade planeja implementar um sistema de transporte para os alunos que moram mais longe. Como a faculdade não conhece a média e a variância da distância para todos os alunos, ela realiza uma pesquisa com 25 alunos selecionados aleatoriamente. Os dados coletados apresentam uma média amostral de 22 km e um desvio padrão amostral de 5 km. Objetivo: Testar, ao nível de significância de 5%, se a média da distância entre a faculdade e a moradia dos alunos é maior do que 20 km .
Passo 1
Vamos lá! A faculdade quer saber se, em média, os alunos moram a mais de 20 km de distância. Para descobrir isso, a gente vai usar Estatística, mais especificamente um teste de hipótese para a média. Vamos precisar dos dados da amostra que temos: 25 alunos, média de 22 km e desvio padrão de 5 km.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossas hipóteses. A gente quer testar se a média da distância é maior que 20 km. Então:
- Hipótese Nula (H₀): A média é igual a 20 km. $ H_0: \mu = 20 $
- Hipótese Alternativa (H₁): A média é maior que 20 km. $ H_1: \mu > 20 $
Passo 3
Como não conhecemos a variância da população e temos uma amostra pequena (menos de 30 alunos), vamos usar o teste t de Student. A fórmula do teste t é:
Onde:
- $ \bar{x} $ é a média amostral (22 km)
- $ \mu_0 $ é a média hipotética (20 km)
- $ s $ é o desvio padrão amostral (5 km)
- $ n $ é o tamanho da amostra (25)
Passo 4
Vamos calcular o valor de t:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor crítico de t para um teste unilateral com nível de significância de 5% e graus de liberdade $ df = n - 1 = 24 $. Consultando a tabela t, encontramos que o valor crítico é aproximadamente 1,711.
Passo 6
Comparamos nosso t calculado com o valor crítico:
Como o t calculado é maior que o valor crítico, a gente rejeita a hipótese nula.
Resposta
Existe evidência suficiente para concluir, ao nível de significância de 5%, que a média da distância entre a faculdade e a moradia dos alunos é maior do que 20 km.