Uma faculdade deseja avaliar se a distância média entre a instituição e a residência dos alunos é maior do que 20 km . Essa informação é importante, pois a faculdade planeja implementar um sistema de transporte para os alunos que moram mais longe. Como a faculdade não conhece a média e a variância da distância para todos os alunos, ela realiza uma pesquisa com 25 alunos selecionados aleatoriamente. Os dados coletados apresentam uma média amostral de 22 km e um desvio padrão amostral de 5 km. Objetivo: Testar, ao nível de significância de 5%, se a média da distância entre a faculdade e a moradia dos alunos é maior do que 20 km .

Passo 1

Vamos lá! A faculdade quer saber se, em média, os alunos moram a mais de 20 km de distância. Para descobrir isso, a gente vai usar Estatística, mais especificamente um teste de hipótese para a média. Vamos precisar dos dados da amostra que temos: 25 alunos, média de 22 km e desvio padrão de 5 km.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas hipóteses. A gente quer testar se a média da distância é maior que 20 km. Então:
  • Hipótese Nula (H₀): A média é igual a 20 km. $ H_0: \mu = 20 $
  • Hipótese Alternativa (H₁): A média é maior que 20 km. $ H_1: \mu > 20 $

Passo 3

Como não conhecemos a variância da população e temos uma amostra pequena (menos de 30 alunos), vamos usar o teste t de Student. A fórmula do teste t é:
t = barx - mu0s / raizn
Onde:
  • $ \bar{x} $ é a média amostral (22 km)
  • $ \mu_0 $ é a média hipotética (20 km)
  • $ s $ é o desvio padrão amostral (5 km)
  • $ n $ é o tamanho da amostra (25)

Passo 4

Vamos calcular o valor de t:
t = 22 - 205 / raiz25 = 25 / 5 = 21 = 2

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico de t para um teste unilateral com nível de significância de 5% e graus de liberdade $ df = n - 1 = 24 $. Consultando a tabela t, encontramos que o valor crítico é aproximadamente 1,711.

Passo 6

Comparamos nosso t calculado com o valor crítico:
2 > 1,711
Como o t calculado é maior que o valor crítico, a gente rejeita a hipótese nula.

Resposta

Existe evidência suficiente para concluir, ao nível de significância de 5%, que a média da distância entre a faculdade e a moradia dos alunos é maior do que 20 km.

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