A distribuição X dos salários, em s.m., dos operários do sexo masculino de uma grande empresa é tal que X sim N(5.4,1.69); e a distribuição Y dos salários do sexo feminino é tal que Y sim N(5.4,2.25). Sorteiam-se duas amostras casuais simples, uma X1, X2, ldots, X16 com 16 homens e outra Y1, Y2, ldots, Y25 com 25 mulheres.
a) Se D=X-Y, calcule P(|D|>0,5).
b) Se barD=barX-barY, calcule P(|barD|>0,5).
c) Qual é o valor de d tal que P(|barD|>d)=0,05.
d) Que tamanho comum deverá ter ambas as amostras para que P(|barD| <= 0,4)=0,95.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos dois salários independentes
;Xsim N(5.4,,1.69) para homens e
;Ysim N(5.4,,2.25) para mulheres.
Sorteiam-se amostras de 16 homens e 25 mulheres.
O que se pede é analisar a diferença D=X-Y e a diferença de médias bar D=bar X-bar Y:
a) P(|D|>0,5)
b) P(|bar D|>0,5)
c) achar d tal que P(|bar D|>d)=0,05
d) achar n comum tal que P(|bar D|<=0,4)=0,95.

Passo 2

Para D=X-Y (dois indivíduos quaisquer) temos, por independência,
muD=muX-muY=5.4-5.4=0, sigmaD^2=sigmaX^2+sigmaY^2=1.69+2.25=3.94,
logo sigmaD=raiz3.94approx1.9849.
Então
P(|D|>0.5) =2l[1-Phil(tfrac0.51.9849r)r] =2l[1-Phi(0.2517)r] approx2(1-0.5999) approx0.8002

Passo 3

Para bar D=bar X-bar Y com bar X média de n1=16 e bar Y média de n2=25,
sigmabar X^2=1.6916=0.105625, sigmabar Y^2=2.2525=0.09,
mubar D=0, sigmabar D^2=0.105625+0.09=0.195625, sigmabar D=raiz0.195625approx0.4423
Logo
P(|bar D|>0.5) =2l[1-Phil(tfrac0.50.4423r)r] =2l[1-Phi(1.130)r] approx2(1-0.8708) approx0.2584

Passo 4

Queremos d tal que
P(|bar D|>d)=0.05 ;Longrightarrow; 2l[1-Phil(tfracd0.4423r)r]=0.05 ;Longrightarrow; Phil(tfracd0.4423r)=0.975 ;Longrightarrow; tfracd0.4423=1.96
d=1.96times0.4423approx0.8669

Passo 5

Agora assuma n1=n2=n. Queremos
P(|bar D|<=0.4)=0.95 ;Longrightarrow; 2Phi!l(0.4raiz(1.69+2.25)/nr)-1=0.95 ;Longrightarrow; 0.4raiz3.94/n=1.96
raiz3.94n=0.41.96=0.20408 ;Longrightarrow; n=3.940.20408^2approx94.6
Arredondando para atender a probabilidade, escolhe-se n=95.

Resposta

a) 0.8002
b) 0.2584
c) dapprox0.8669
d) n=95

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