Questão 20 - (árvore binomial) O preço de uma ação a cada dia é uma v.a., com probabilidade 0,4 de cair 1,00 \mathrm{R} $1,00 çõçããççãé 5,00.
a) Qual a probabilidade de que, no dia, o valor da ação seja o mesmo do primeiro dia (ou seja, R$5,00)?
b) Calcule o valor esperado do preço de fechamento no dia.

Passo 1

O enunciado descreve um processo onde o preço da ação no dia n, que chamamos de Sn, parte de S0=5 e a cada dia sofre uma variação +1 com probabilidade 0,6 ou -1 com probabilidade 0,4, de forma independente. Vamos usar esse modelo de passeio aleatório para calcular:
a) P(S5=5)
b) E[S3]

Passo 2

Definimos as variáveis de incremento diárias ,Xi, i=1,2,dots, tais que
P(Xi=+1)=0,6, P(Xi=-1)=0,4,
e as Xi são independentes. Então
Sn = S0 + sumi=1^n Xi = 5 + sumi=1^n Xi

Passo 3

Para (a) queremos P(S5=5), isto é
Pl(5 + sumi=1^5 Xi = 5r) = Pl(sumi=1^5 Xi = 0r)
Como cada Xi vale pm1, a soma de cinco números ímpares só pode ser -5,-3,-1,1,3 ou 5. O valor zero não está nessa lista, logo
Pl(sumi=1^5 Xi = 0r)=0

Passo 4

Alternativamente, poderíamos contar quantos +1 ocorrem: se em 5 lançamentos o número de +1 for k, a soma é 2k-5. Para dar zero precisaríamos de 2k-5=0Rightarrow k=2,5, impossível. Confirma que a probabilidade é zero.

Passo 5

Para (b) usamos a linearidade da esperança:
E[S3] = El[5 + sumi=1^3 Xir] = 5 + sumi=1^3 E[Xi]
Como E[Xi]=(+1)cdot0,6+(-1)cdot0,4=0,2, temos
E[S3] = 5 + 3cdot0,2 = 5 + 0,6 = 5,6

Resposta

a) 0
b) o valor esperado do preço no 3º dia é R$ 5,60.

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