Questão 20 - (árvore binomial) O preço de uma ação a cada dia é uma v.a., com probabilidade 0,4 de cair
1,00
\mathrm{R} $1,00
5,00.
a) Qual a probabilidade de que, no
dia, o valor da ação seja o mesmo do primeiro dia (ou seja, R$5,00)?
b) Calcule o valor esperado do preço de fechamento no
dia.
a) Qual a probabilidade de que, no
b) Calcule o valor esperado do preço de fechamento no
Passo 1
O enunciado descreve um processo onde o preço da ação no dia
, que chamamos de
, parte de
e a cada dia sofre uma variação
com probabilidade
ou
com probabilidade
, de forma independente. Vamos usar esse modelo de passeio aleatório para calcular:
a)
b)
a)
b)
Passo 2
Definimos as variáveis de incremento diárias
,
, tais que
e as
são independentes. Então
Passo 3
Para (a) queremos
, isto é
Como cada
vale
, a soma de cinco números ímpares só pode ser
ou
. O valor zero não está nessa lista, logo
Passo 4
Alternativamente, poderíamos contar quantos
ocorrem: se em
lançamentos o número de
for
, a soma é
. Para dar zero precisaríamos de
, impossível. Confirma que a probabilidade é zero.
Passo 5
Para (b) usamos a linearidade da esperança:
Como
, temos
Resposta
a)
b) o valor esperado do preço no º dia é
.
b) o valor esperado do preço no