Resolva as integrais indefinidas a seguir por meio da Integração por Partes: u \cdot v-\int v d u
\int x^{2} \cdot e^{-5 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{2} \cdot e^{-5x}\,dx
usando a fórmula da integração por partes u\cdot v-\int v\,du. As informações relevantes dadas são: a variável de integração é x, o integrando é o produto de um polinômio x^{2} por uma exponencial e^{-5x}, e devemos aplicar integração por partes possivelmente mais de uma vez até eliminar o polinômio.

Passo 2

A fórmula da integração por partes vem da regra do produto da derivada. Se escolhemos funções u(x) e v(x) com diferenciais du e dv, então
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u é a parte que diferenciamos (gera algo mais simples) e dv é a parte que integramos para obter v. A escolha costuma ser feita de modo que a diferenciação de u torne o problema mais simples (por exemplo, polinômios diminuem de grau).

Passo 3

Escolhemos
u = x^{2},\qquad dv = e^{-5x}\,dx,
porque ao diferenciar x^{2} obtemos 2x, que reduz o grau do polinômio. Isso facilita a repetição da integração por partes.

Passo 4

Calculamos du e v.
Diferenciando u:
du = d(x^{2}) = 2x\,dx.
Integrando dv para achar v:
v = \int e^{-5x}\,dx.
Usamos a regra \int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax}. Aqui a=-5, logo
v = \frac{1}{-5} e^{-5x} = -\frac{1}{5}e^{-5x}.

Passo 5

Aplicamos a fórmula da integração por partes:
\int x^{2} e^{-5x}\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int x^{2} e^{-5x}\,dx = x^{2}\left(-\frac{1}{5}e^{-5x}\right) - \int \left(-\frac{1}{5}e^{-5x}\right)\cdot(2x\,dx).

Passo 6

Simplificamos constantes dentro da integral:
\int x^{2} e^{-5x}\,dx = -\frac{1}{5}x^{2}e^{-5x} + \frac{2}{5}\int x e^{-5x}\,dx.
Agora falta calcular \int x e^{-5x}\,dx. Vamos fazer uma segunda integração por partes nessa integral.

Passo 7

Para \int x e^{-5x}\,dx escolhemos
u_{1} = x,\qquad dv_{1} = e^{-5x}\,dx,
pelo mesmo motivo: x ao ser diferenciado fica 1, simplificando.

Passo 8

Calculamos du_{1} e v_{1}:
du_{1} = dx,\qquad v_{1} = \int e^{-5x}\,dx = -\frac{1}{5}e^{-5x}.
Agora aplicamos a fórmula:
\int x e^{-5x}\,dx = u_{1}v_{1} - \int v_{1}\,du_{1} = x\left(-\frac{1}{5}e^{-5x}\right) - \int \left(-\frac{1}{5}e^{-5x}\right)\,dx.

Passo 9

Simplificamos a expressão:
\int x e^{-5x}\,dx = -\frac{1}{5}x e^{-5x} + \frac{1}{5}\int e^{-5x}\,dx.
Calculemos \int e^{-5x}\,dx = -\frac{1}{5}e^{-5x}. Substituindo:
\int x e^{-5x}\,dx = -\frac{1}{5}x e^{-5x} + \frac{1}{5}\left(-\frac{1}{5}e^{-5x}\right) = -\frac{1}{5}x e^{-5x} - \frac{1}{25}e^{-5x}.

Passo 10

Voltamos à expressão do Passo 6 e substituímos \int x e^{-5x}\,dx:
\int x^{2} e^{-5x}\,dx = -\frac{1}{5}x^{2}e^{-5x} + \frac{2}{5}\left(-\frac{1}{5}x e^{-5x} - \frac{1}{25}e^{-5x}\right).
Agora multiplicamos as constantes:
\frac{2}{5}\cdot\left(-\frac{1}{5}\right) = -\frac{2}{25},\qquad \frac{2}{5}\cdot\left(-\frac{1}{25}\right) = -\frac{2}{125}.
Portanto
\int x^{2} e^{-5x}\,dx = -\frac{1}{5}x^{2}e^{-5x} - \frac{2}{25}x e^{-5x} - \frac{2}{125}e^{-5x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 11

Opcionalmente podemos fatorar o termo e^{-5x} para uma forma mais compacta:
\int x^{2} e^{-5x}\,dx = -e^{-5x}\left(\frac{1}{5}x^{2}+\frac{2}{25}x+\frac{2}{125}\right) + C = -\frac{e^{-5x}}{125}\left(25x^{2}+10x+2\right) + C.

Resposta

-\frac{1}{5}x^{2}e^{-5x}-\frac{2}{25}x e^{-5x}-\frac{2}{125}e^{-5x}+C

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