Resolva as integrais indefinidas a seguir por meio da Integração por Partes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
usando a fórmula da integração por partes
. As informações relevantes dadas são: a variável de integração é
, o integrando é o produto de um polinômio
por uma exponencial
, e devemos aplicar integração por partes possivelmente mais de uma vez até eliminar o polinômio.
Passo 2
A fórmula da integração por partes vem da regra do produto da derivada. Se escolhemos funções
e
com diferenciais
e
, então
Aqui
é a parte que diferenciamos (gera algo mais simples) e
é a parte que integramos para obter
. A escolha costuma ser feita de modo que a diferenciação de
torne o problema mais simples (por exemplo, polinômios diminuem de grau).
Passo 3
Escolhemos
porque ao diferenciar
obtemos
, que reduz o grau do polinômio. Isso facilita a repetição da integração por partes.
Passo 4
Calculamos
e
.
Diferenciando :
Diferenciando
Integrando
para achar
:
Usamos a regra
. Aqui
, logo
Passo 5
Aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Passo 6
Simplificamos constantes dentro da integral:
Agora falta calcular
. Vamos fazer uma segunda integração por partes nessa integral.
Passo 7
Para
escolhemos
pelo mesmo motivo:
ao ser diferenciado fica
, simplificando.
Passo 8
Calculamos
e
:
Agora aplicamos a fórmula:
Passo 9
Simplificamos a expressão:
Calculemos
. Substituindo:
Passo 10
Voltamos à expressão do Passo 6 e substituímos
:
Agora multiplicamos as constantes:
Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 11
Opcionalmente podemos fatorar o termo
para uma forma mais compacta: