A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é dada por:
uumax =1-(2 yh)^2
em que h é a distância separando as placas e a origem está situada na linha mediana entre as placas.
Considere um escoamento de água a 15^circ C, com umax =0,10 m / s e h=0,1 m.
- Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e dê o seu sentido.
- Esboce a variação da tensão de cisalhamento em uma seção transversal do canal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala de um escoamento laminar de água entre duas placas paralelas, com perfil de velocidade
uumax = 1 - l(2yhr)^2
onde umax=0,10;m/s, h=0,10;m é a distância entre as placas, a origem está no meio, e a água está a 15 °C (com viscosidade ). Os dados são
O que a gente precisa encontrar é a tensão de cisalhamento na placa superior e o seu sentido, e ainda esboçar como varia em .

Passo 2

Na Mecânica dos Fluidos, a tensão de cisalhamento (ou esforço cortante) em escoamentos newtonianos é dada por
tauyx = mu;dudy
ou seja, é a viscosidade vezes a derivada do perfil de velocidade em relação a .

Passo 3

Vamos achar u = umaxl[1 - l(2y/hr)^2r] = umaxl(1 - tfrac4y^2h^2r), . Sabendo que
dudy = umax,ddyl(1 - 4y^2/h^2r) = umax,l(-8y/h^2r) = -8,umax,yh^2
temos

Passo 4

Na placa superior, dudy|y=h/2 = -8,umaxh^2;h2 = -8,umax2,h = -4,umaxh . Então
tauw = mu;l(-4,umaxhr) = -4,mu,umaxh
Logo a tensão lá em cima é

Passo 5

Agora é só colocar número
mu = 1,14times10^-3,Pacdot s, umax=0,10,m/s, h=0,10,m,
então
tauw = -4,(1,14times10^-3),(0,10)0,10 = -4,56times10^-3,Pa
O sinal “–” significa que a tensão de cisalhamento no fluido, em relação ao eixo positivo, aponta no sentido oposto (ou seja, a placa “puxa” o fluido no sentido contrário a ).

Passo 6

Para o esboço:
A expressão geral é
tau(y)=mu,dudy =-8,mu,umaxh^2;y,
que é uma reta passando pela origem ( em ), negativa para e positiva para , atingindo nas placas.

Resposta

Tensão de cisalhamento na placa superior:
boxedtauw = -4,56times10^-3,Pa,
ou seja, de módulo e sentido oposto ao eixo positivo.
Esboço de : reta linear cruzando , com para (topo) e para (fundo).

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