A distribuição de velocidades das moléculas em um recipiente é a distribuição de Maxwell:
f(v) propto v^2 e^-m v^2 / 2 k T
(a) Mostre que a função de distribuição de velocidades pode ser escrita como
g(v)=4 pi(vvm)^2 vm e^-(vvm)^2
onde vm é a velocidade mais provável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que trabalhar com a distribuição de Maxwell das velocidades das moléculas num recipiente. O exercício pede pra gente mostrar que essa distribuição pode ser escrita de um jeito específico usando a velocidade mais provável, que a gente chama de $ v_m $. Pra resolver isso, vamos precisar entender como maximizar a distribuição para encontrar $ v_m $ e depois reescrever a função usando essa velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a expressão da distribuição de Maxwell que a gente tem:
f(v) propto v^2 e^-m v^2 / 2 k T
Isso significa que $ f(v) $ é proporcional a $ v^{2} $ vezes uma exponencial que depende de $ v^{2} $. Nosso objetivo é encontrar uma forma dessa função que envolva $ v_m $, a velocidade mais provável.

Passo 3

Para encontrar a velocidade mais provável $ v_m $, a gente precisa determinar onde a função $ f(v) $ atinge seu valor máximo. Ou seja, vamos encontrar $ v $ tal que $ f(v) $ é máximo.
Vamos derivar $ f(v) $ em relação a $ v $ e igualar a zero:
vm
Aplicando a regra do produto:
f(v)
Fatorando $ v e^{-m v^{2} / 2 k T} $:
v
Isso nos dá duas soluções: $ v = 0 $ ou $ 2 - \frac{m v^{2}}{k T} = 0 $. Ignorando $ v = 0 $ (porque não faz sentido físico), resolvemos:
f(v)
Então, a velocidade mais provável é:
f(v)

Passo 4

Agora que temos $ v_m $, vamos expressar $ v $ em termos de $ v_m $:
vm
Isso nos ajuda a reescrever a distribuição de Maxwell de uma forma que envolva $ v_m $.

Passo 5

Vamos reescrever a função $ f(v) $ usando $ v_m $:
f(v)
Agora, para deixar a distribuição normalizada, incluímos a constante $ 4\pi $ e ajustamos os termos:
vm

Resposta

A função de distribuição de velocidades pode ser escrita como
g(v) = 4 pi ( vvm )^2 vm e^-( vvm )^2

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