Um gás consiste de N partículas pontuais em um espaço infinito. Cada partícula é atraída pela origem por uma força proporcional à distância da origem, F=-C r. Assim, além de sua energia cinética translacional, cada partícula tem uma energia potencial U=12 C r^2=12 C(x^2+y^2+ z^2 ).
(b) Mostre que a probabilidade de encontrar uma partícula em d r a uma distância r é A r^2 e^-C r^2 / 2 k T d r, e avalie a constante A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um gás com $ N $ partículas que são puxadas para a origem por uma força proporcional à distância, ou seja, $ F = -C r $. A gente precisa mostrar que a probabilidade de encontrar uma partícula a uma distância $ r $ está dada por $ A r^{2} e^{-C r^{2} / 2 k T} d r $ e encontrar o valor da constante $ A $. Aqui, estamos lidando com conceitos de mecânica estatística, especialmente com distribuição de Boltzmann e probabilidades em espaços tridimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em mecânica estatística, a probabilidade de encontrar uma partícula em uma posição específica é proporcional a $ e^{-U®/kT} $, onde $ U® $ é a energia potencial, $ k $ é a constante de Boltzmann e $ T $ é a temperatura.
No nosso caso, a energia potencial é dada por:
e^-U(r)/kT
Então, a probabilidade $ P® $ de encontrar uma partícula a uma distância $ r $ é proporcional a:
U(r)

Passo 3

Mas não é só isso! Como estamos trabalhando em um espaço tridimensional, precisamos considerar o volume onde a partícula pode estar. Em coordenadas esféricas, um pequeno volume na distância $ r $ é dado por:
r
Isso significa que a quantidade de espaço disponível aumenta com $ r^{2} $. Portanto, a probabilidade total de encontrar uma partícula entre $ r $ e $ r + dr $ leva em conta tanto a distribuição de Boltzmann quanto o volume, ficando:
dV = 4pi r^2 dr
Aqui, $ A $ é a constante de normalização que precisamos determinar.

Passo 4

Agora, para achar $ A $, devemos garantir que a soma de todas as probabilidades seja igual a 1. Então, integramos $ P® $ de 0 até o infinito:
A
Vamos resolver essa integral para encontrar $ A $.

Passo 5

A integral que temos é uma forma conhecida da integral gaussiana:
integral0^infty r^2 e^-a r^2 dr = raizpi4 a^3/2
Onde $ a = \frac{C}{2 k T} $. Substituindo $ a $ na expressão:
a = C2 k T

Passo 6

Voltando à nossa equação de normalização:
A cdot raizpi4 ( 2 k TC )^3/2 = 1
Agora, isolamos $ A $:
A
Simplificando:
A = 4raizpi ( 2 k TC )^3/2
Simplificando mais:
A = 4 C^3/2raizpi (2 k T)^3/2 = 4 C^3/2(2 k T)^3/2 raizpi = 4 C^3/2(2)^3/2 (k T)^3/2 raizpi = 42^3/2 cdot C^3/2(k T)^3/2 raizpi = 42 raiz2 cdot C^3/2(k T)^3/2 raizpi

Resposta

A constante $ A $ é dada por:
A

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