Um gás consiste de
partículas pontuais em um espaço infinito. Cada partícula é atraída pela origem por uma força proporcional à distância da origem,
. Assim, além de sua energia cinética translacional, cada partícula tem uma energia potencial
).
(b) Mostre que a probabilidade de encontrar uma partícula em
a uma distância
é
, e avalie a constante
.
(b) Mostre que a probabilidade de encontrar uma partícula em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um gás com $ N $ partículas que são puxadas para a origem por uma força proporcional à distância, ou seja, $ F = -C r $. A gente precisa mostrar que a probabilidade de encontrar uma partícula a uma distância $ r $ está dada por $ A r^{2} e^{-C r^{2} / 2 k T} d r $ e encontrar o valor da constante $ A $. Aqui, estamos lidando com conceitos de mecânica estatística, especialmente com distribuição de Boltzmann e probabilidades em espaços tridimensionais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em mecânica estatística, a probabilidade de encontrar uma partícula em uma posição específica é proporcional a $ e^{-U®/kT} $, onde $ U® $ é a energia potencial, $ k $ é a constante de Boltzmann e $ T $ é a temperatura.
No nosso caso, a energia potencial é dada por:
Então, a probabilidade $ P® $ de encontrar uma partícula a uma distância $ r $ é proporcional a:
Passo 3
Mas não é só isso! Como estamos trabalhando em um espaço tridimensional, precisamos considerar o volume onde a partícula pode estar. Em coordenadas esféricas, um pequeno volume na distância $ r $ é dado por:
Isso significa que a quantidade de espaço disponível aumenta com $ r^{2} $. Portanto, a probabilidade total de encontrar uma partícula entre $ r $ e $ r + dr $ leva em conta tanto a distribuição de Boltzmann quanto o volume, ficando:
Aqui, $ A $ é a constante de normalização que precisamos determinar.
Passo 4
Agora, para achar $ A $, devemos garantir que a soma de todas as probabilidades seja igual a 1. Então, integramos $ P® $ de 0 até o infinito:
Vamos resolver essa integral para encontrar $ A $.
Passo 5
A integral que temos é uma forma conhecida da integral gaussiana:
Onde $ a = \frac{C}{2 k T} $. Substituindo $ a $ na expressão:
Passo 6
Voltando à nossa equação de normalização:
Agora, isolamos $ A $:
Simplificando:
Simplificando mais:
Resposta
A constante $ A $ é dada por: