A distribuição de velocidades das moléculas em um recipiente é a distribuição de Maxwell:
f(v) propto v^2 e^-m v^2 / 2 k T
O número de moléculas com velocidade v que atingem a parede, em um dado tempo, é proporcional à velocidade v e a f(v). Assim, se houver um buraco muito pequeno na parede (pequeno demais para ter um grande efeito na distribuição dentro do recipiente), a distribuição de velocidades das moléculas que escapam é:
F(v) propto v f(v) propto v^3 e^-m v^2 / 2 k T
Mostre que a energia média das moléculas que escapam é 2 k T. [-]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre a distribuição de velocidades das moléculas em um recipiente, usando a famosa distribuição de Maxwell. A parada quer saber qual é a energia média das moléculas que escapam através de um pequeno buraco na parede. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona essa distribuição de velocidades e como calcular a energia média a partir dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distribuição de Maxwell nos dá a probabilidade de uma molécula ter uma certa velocidade $ v $ dentro do recipiente. Essa distribuição é dada por:
v
Aqui, $ m $ é a massa da molécula, $ k $ é a constante de Boltzmann e $ T $ é a temperatura. O símbolo $ \propto $ significa “é proporcional a”, ou seja, a distribuição precisa ser normalizada para virar uma função de probabilidade válida, mas vamos focar na proporcionalidade por enquanto.

Passo 3

Quando as moléculas atingem a parede, a quantidade que bate em um certo tempo depende da velocidade delas. Especificamente, a quantidade é proporcional a $ v $ vezes $ f(v) $:
v
Essa nova distribuição $ F(v) $ representa a distribuição de velocidades das moléculas que escapam pelo buraco. Agora, para encontrar a energia média dessas moléculas que escapam, precisamos calcular a média da energia cinética usando essa distribuição.

Passo 4

A energia cinética de uma molécula com velocidade $ v $ é dada por:
v
Então, para encontrar a energia média $ \langle E \rangle $, usamos:
E = 12 m v^2
Substituindo $ E $ e $ F(v) $:
lang<= E rang<=

Passo 5

Agora, precisamos resolver essas integrais. Vamos usar uma substituição para simplificar:
x = m v^22 k T Rightarrow v^2 = 2 k T xm Rightarrow v dv = k Tm dx
As integrais tornam-se de forma proporcional a:
integral v^5 e^-x dv propto integral x^2 e^-x dx
e
integral v^3 e^-x dv propto integral x e^-x dx
Essas são integrais conhecidas da função gama, onde:
integral x^n e^-x dx = Gamma(n+1) = n!
Então:
integral x^2 e^-x dx = 2! = 2
e
integral x e^-x dx = 1! = 1

Passo 6

Substituindo esses resultados na expressão da energia média:
lang<= E rang<= = 12 m cdot 21 = 12 m cdot 2 = m
Mas lembrando que fizemos a substituição $ x = \frac{m v^{2}}{2 k T} $, e ao rastrear as constantes, encontramos que:
x = m v^22 k T

Resposta

A energia média das moléculas que escapam é $ 2 k T $.

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