A distribuição de velocidades das moléculas em um recipiente é a distribuição de Maxwell:
O número de moléculas com velocidade
que atingem a parede, em um dado tempo, é proporcional à velocidade
e a
. Assim, se houver um buraco muito pequeno na parede (pequeno demais para ter um grande efeito na distribuição dentro do recipiente), a distribuição de velocidades das moléculas que escapam é:
Mostre que a energia média das moléculas que escapam é
. [-]
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre a distribuição de velocidades das moléculas em um recipiente, usando a famosa distribuição de Maxwell. A parada quer saber qual é a energia média das moléculas que escapam através de um pequeno buraco na parede. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona essa distribuição de velocidades e como calcular a energia média a partir dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a distribuição de Maxwell nos dá a probabilidade de uma molécula ter uma certa velocidade $ v $ dentro do recipiente. Essa distribuição é dada por:
Aqui, $ m $ é a massa da molécula, $ k $ é a constante de Boltzmann e $ T $ é a temperatura. O símbolo $ \propto $ significa “é proporcional a”, ou seja, a distribuição precisa ser normalizada para virar uma função de probabilidade válida, mas vamos focar na proporcionalidade por enquanto.
Passo 3
Quando as moléculas atingem a parede, a quantidade que bate em um certo tempo depende da velocidade delas. Especificamente, a quantidade é proporcional a $ v $ vezes $ f(v) $:
Essa nova distribuição $ F(v) $ representa a distribuição de velocidades das moléculas que escapam pelo buraco. Agora, para encontrar a energia média dessas moléculas que escapam, precisamos calcular a média da energia cinética usando essa distribuição.
Passo 4
A energia cinética de uma molécula com velocidade $ v $ é dada por:
Então, para encontrar a energia média $ \langle E \rangle $, usamos:
Substituindo $ E $ e $ F(v) $:
Passo 5
Agora, precisamos resolver essas integrais. Vamos usar uma substituição para simplificar:
As integrais tornam-se de forma proporcional a:
e
Essas são integrais conhecidas da função gama, onde:
Então:
e
Passo 6
Substituindo esses resultados na expressão da energia média:
Mas lembrando que fizemos a substituição $ x = \frac{m v^{2}}{2 k T} $, e ao rastrear as constantes, encontramos que:
Resposta
A energia média das moléculas que escapam é $ 2 k T $.