A distribuição de velocidades das moléculas em um recipiente é a distribuição de Maxwell:
f(v) propto v^2 e^-m v^2 / 2 k T
g(v)=4 pi(vvm)^2 vm e^-(vvm)^2
onde vm é a velocidade mais provável.
Considere 1 mol de moléculas e aproxime d v por De.
Encontre o número de moléculas com velocidades em d v para:
  • (d) v=2 vm

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a distribuição de velocidades das moléculas em um recipiente, usando a distribuição de Maxwell. O que precisamos entender aqui é como calcular o número de moléculas que têm velocidades próximas a v = 2 vm. Para isso, vamos precisar usar a função de distribuição dada e considerar que temos 1 mol de moléculas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que 1 mol de moléculas corresponde ao número de Avogadro, que é aproximadamente NA = 6,022 times 10^23 moléculas.

Passo 3

A distribuição de Maxwell nos dá a probabilidade de encontrar moléculas com uma certa velocidade. A função g(v) já está normalizada, ou seja, integrada sobre todas as velocidades resulta em 1. Para encontrar o número de moléculas com velocidades na faixa dv, nós multiplicamos g(v) por NA e pela largura da faixa de velocidade De.

Passo 4

A questão aproxima dv por De. Então, a fórmula para o número de moléculas N(v) com velocidades entre v e v + De fica:
N(v) = NA cdot g(v) cdot De

Passo 5

Vamos substituir v por 2 vm na expressão de g(v):
g(2 vm) = 4 pi (2 vmvm)^2 vm e^-(2 vmvm)^2 = 4 pi (2)^2 vm e^-4 = 16 pi vm e^-4

Passo 6

Agora, substituímos g(2 vm) e De na fórmula de N(v):
N(2 vm) = NA cdot 16 pi vm e^-4 cdot 0,01 vm = NA cdot 16 pi (vm)^2 e^-4 cdot 0,01

Passo 7

Simplificando os termos:
N(2 vm) = NA cdot 0,16 pi (vm)^2 e^-4

Resposta

Portanto, o número de moléculas com velocidades próximas a 2 vm é:
N(2 vm) = 0,16 pi NA (vm)^2 e^-4

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