Encontre o valor pincipal de (1+i)^2-i.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o valor principal de (1+i)^2-i. A matéria envolvida aqui é a de números complexos e exponenciais complexos. Para resolver, vamos precisar usar a forma polar dos números complexos, propriedades das potências e a fórmula de Euler.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar 1+i na forma polar. Para isso, calculamos o módulo e o argumento desse número.
  • Módulo: |1+i| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2
  • Argumento: theta = arctan(11) = pi4
Então, podemos escrever:
1+i = raiz2 cdot e^ipi4

Passo 3

Agora, vamos elevar raiz2 cdot e^ipi4 à potência 2-i. Usamos a propriedade das potências:
(a cdot e^itheta)^b = a^b cdot e^i b theta
Aplicando isso:
(1+i)^2-i = (raiz2)^2-i cdot e^i(2-i)pi4

Passo 4

Vamos simplificar (raiz2)^2-i. Sabemos que raiz2 = 2^1/2, então:
(2^1/2)^2-i = 2^(1/2)(2-i) = 2^1 - i2
Isso pode ser escrito como:
2^1 cdot 2^-i2 = 2 cdot e^-i2 ln 2

Passo 5

Agora, vamos simplificar o expoente no termo exponencial:
i(2-i)pi4 = i cdot 2 cdot pi4 - i cdot i cdot pi4 = ipi2 + pi4
Então, temos:
e^ipi2 + pi4 = e^pi4 cdot e^ipi2

Passo 6

Juntando tudo, temos:
(1+i)^2-i = 2 cdot e^-i2 ln 2 cdot e^pi4 cdot e^ipi2 = 2 e^pi4 cdot e^i(pi2 - ln 22)
Usando a fórmula de Euler e^iphi = cosphi + isinphi, podemos escrever:
2 e^pi4 [ cos(pi2 - ln 22) + i sin(pi2 - ln 22) ]

Resposta

O valor principal de (1+i)^2-i é:
2 e^pi4 [ cos(pi2 - ln 22) + i sin(pi2 - ln 22) ]

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