Este problema está relacionado ao teorema da equipartição de energia. Considere um sistema no qual a energia de uma partícula é dada por E=A u^2, onde A é uma constante e u é qualquer coordenada ou momento que pode variar de -infty a +infty.
(a) Escreva a probabilidade de a partícula ter u no intervalo d u e calcule a constante de normalização C em termos de A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema relacionado ao teorema da equipartição de energia. A energia de uma partícula é dada por $ E = A u^{2} $, onde $ A $ é uma constante e $ u $ pode variar de E = A u^2 a A . A pergunta é: qual é a probabilidade de a partícula ter um valor específico de $ u $ dentro de um intervalo infinitesimal $ du $, e como calcular a constante de normalização $ C $ em termos de $ A $.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a probabilidade de encontrar a partícula em um determinado estado $ u $ está relacionada à energia desse estado. Geralmente, usamos uma função exponencial para descrever essa probabilidade, baseada na distribuição de Boltzmann. Então, a probabilidade $ P(u) $ de a partícula ter um valor de $ u $ dentro de $ du $ pode ser escrita como:
u
Aqui, $ C $ é a constante de normalização que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, para encontrar $ C $, precisamos garantir que todas as probabilidades somem 1. Isso significa que a integral de $ P(u) $ de C a P(u) deve ser igual a 1:
-infty
Substituindo $ P(u) $ na integral:
+infty

Passo 4

Vamos resolver a integral:
C integral-infty^+infty e^-A u^2 , du = 1
Sabemos que a integral integral-infty^+infty e^-A u^2 , du é uma forma da seguinte integral conhecida:
integral-infty^+infty e^-a x^2 , dx = raizpia
No nosso caso, $ a = A $, então:
a = A

Passo 5

Substituindo de volta na equação para $ C $:
C
Agora, isolando $ C $:
C cdot raizpiA = 1

Resposta

A constante de normalização $ C $ é $ \sqrt{\frac{A}{\pi}} $. Portanto, a probabilidade de a partícula ter $ u $ no intervalo $ du $ é:
C

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