Este problema está relacionado ao teorema da equipartição de energia. Considere um sistema no qual a energia de uma partícula é dada por
, onde
é uma constante e
é qualquer coordenada ou momento que pode variar de
a
.
(a) Escreva a probabilidade de a partícula ter
no intervalo
e calcule a constante de normalização
em termos de
.
(a) Escreva a probabilidade de a partícula ter
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema relacionado ao teorema da equipartição de energia. A energia de uma partícula é dada por $ E = A u^{2} $, onde $ A $ é uma constante e $ u $ pode variar de
a
. A pergunta é: qual é a probabilidade de a partícula ter um valor específico de $ u $ dentro de um intervalo infinitesimal $ du $, e como calcular a constante de normalização $ C $ em termos de $ A $.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a probabilidade de encontrar a partícula em um determinado estado $ u $ está relacionada à energia desse estado. Geralmente, usamos uma função exponencial para descrever essa probabilidade, baseada na distribuição de Boltzmann. Então, a probabilidade $ P(u) $ de a partícula ter um valor de $ u $ dentro de $ du $ pode ser escrita como:
Aqui, $ C $ é a constante de normalização que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, para encontrar $ C $, precisamos garantir que todas as probabilidades somem 1. Isso significa que a integral de $ P(u) $ de
a
deve ser igual a 1:
Substituindo $ P(u) $ na integral:
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Sabemos que a integral
é uma forma da seguinte integral conhecida:
No nosso caso, $ a = A $, então:
Passo 5
Substituindo de volta na equação para $ C $:
Agora, isolando $ C $:
Resposta
A constante de normalização $ C $ é $ \sqrt{\frac{A}{\pi}} $. Portanto, a probabilidade de a partícula ter $ u $ no intervalo $ du $ é: