Simplifique a expressão
escrevendo-a na forma
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Resposta:
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Resposta:
Passo 1
Então, a gente tem que simplificar essa expressão que envolve funções trigonométricas e números complexos. A expressão é:
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de números complexos na forma trigonométrica e as propriedades de potências de números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo pode ser escrito na forma trigonométrica:
E seu conjugado é:
Passo 3
Agora, substituímos na expressão original:
Passo 4
Sabemos que quando elevamos um número complexo na forma trigonométrica a uma potência, usamos a fórmula de De Moivre:
E para o conjugado:
Passo 5
Aplicando a fórmula de De Moivre na nossa expressão:
Passo 6
Para dividir dois números complexos na forma trigonométrica, subtraímos os ângulos. Então:
Passo 7
Simplificando a subtração dos ângulos:
Então, temos:
Passo 8
Sabemos que:
Substituindo:
Passo 9
Mas, voltando ao passo anterior, percebemos que houve um erro na subtração dos ângulos. Na verdade, devemos multiplicar os expoentes:
Quando dividimos dois números complexos na forma trigonométrica, os ângulos se subtraem:
Aplicando isso na nossa expressão:
Passo 10
Como sabemos que:
Portanto:
Resposta
A expressão simplificada é: