Um fabricante de pneus afirma que seus pneus têm uma vida útil média de 50.000 km . Em uma amostra de 25 pneus, a média de vida útil foi de 48.000 km , com um desvio padrão de 3.000 km . Teste a hipótese de que a média da vida útil é diferente que 50.000 km . Qual é a conclusão do teste com um nível de significância de 10 \% ? ( t_{\text {tab }}=1,711 )

Passo 1

O enunciado pede para testar se a média da vida útil dos pneus é diferente de 50{,}000 km, usando nível de significância de 10\%. Informações fornecidas:
  • Tamanho da amostra: n=25.
  • Média amostral: \bar{x}=48{,}000 km.
  • Desvio padrão amostral: s=3{,}000 km.
  • Nível de significância: \alpha=0{,}10.
  • Valor crítico dado: t_{\text{tab}}=1{,}711.
    A pergunta final é: qual é a conclusão do teste (rejeitar ou não rejeitar a hipótese de que a média é 50{,}000 km)?

Passo 2

Formulamos as hipóteses que o enunciado sugere:
H_0: \mu = 50{,}000
H_1: \mu \neq 50{,}000
(Isto é um teste bicaudal porque queremos saber se a média é diferente — pode ser maior ou menor.)
Como o desvio padrão populacional não é conhecido e a amostra é relativamente pequena, usamos o teste t de Student para uma amostra. A estatística de teste é
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral,
  • \mu_0 é a média hipotética sob H_0,
  • s é o desvio padrão amostral,
  • n é o tamanho da amostra,
  • s/\sqrt{n} é o erro padrão da média (explico: é a estimativa do desvio-padrão da distribuição amostral de \bar{x}; reduzir s dividindo por \sqrt{n} mostra que amostras maiores dão estimativas mais precisas).

Passo 3

Calculemos o erro padrão e a estatística t.
Primeiro, \sqrt{n}=\sqrt{25}=5.
O erro padrão é
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{3{,}000}{5}=600.
A estatística de teste é
t=\frac{48{,}000-50{,}000}{600}=\frac{-2{,}000}{600}=-3{,}333\ldots
ou seja, t\approx -3{,}333.
Interpretação numérica rápida: a média amostral está 2{,}000 km abaixo da média hipotética, o que corresponde a aproximadamente 3{,}33 erros-padrão — isso já dá uma sensação de que é uma distância grande sob H_0.

Passo 4

Regra de decisão (teste bicaudal): com n-1=24 graus de liberdade, rejeitamos H_0 ao nível \alpha se
|t|>t_{\text{tab}}.
Aqui t_{\text{tab}}=1{,}711 (valor crítico fornecido para \alpha=0{,}10 em teste bicaudal).
Calculamos |t|=3{,}333. Como
3{,}333 > 1{,}711,
temos evidência suficiente para rejeitar H_0.
Intuição didática: estamos comparando quantos erros-padrão a média amostral está afastada do valor alegado. Mais de 3 erros-padrão é bastante improvável se a média real fosse 50{,}000, por isso a hipótese original não se sustenta.

Passo 5

Sobre o valor-p: tabelas ou calculadoras dão o valor-p bicaudal associado a t\approx -3{,}333 com 24 graus de liberdade; esse valor-p é pequeno (menor que 0{,}01), isto é, muito menor que \alpha=0{,}10. Isso reforça a decisão de rejeitar H_0.
Contexto final (como seria dito numa prova): rejeitamos a alegação do fabricante de que a média é 50{,}000 km — a amostra sugere que a média é diferente, neste caso menor.

Resposta

Rejeita-se H_0. Estatística de teste t\approx -3{,}333 e |t|>1{,}711, portanto, ao nível de significância de 10\%, há evidência de que a média da vida útil dos pneus é diferente de 50{,}000 km (a amostra indica média menor).

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