Um fabricante de pneus afirma que seus pneus têm uma vida útil média de 50.000 km . Em uma amostra de 25 pneus, a média de vida útil foi de 48.000 km , com um desvio padrão de 3.000 km . Teste a hipótese de que a média da vida útil é diferente que 50.000 km . Qual é a conclusão do teste com um nível de significância de
? (
)
Passo 1
O enunciado pede para testar se a média da vida útil dos pneus é diferente de
km, usando nível de significância de
. Informações fornecidas:
- Tamanho da amostra:
. - Média amostral:
km. - Desvio padrão amostral:
km. - Nível de significância:
. - Valor crítico dado:
.
A pergunta final é: qual é a conclusão do teste (rejeitar ou não rejeitar a hipótese de que a média ékm)?
Passo 2
Formulamos as hipóteses que o enunciado sugere:
(Isto é um teste bicaudal porque queremos saber se a média é diferente — pode ser maior ou menor.)
Como o desvio padrão populacional não é conhecido e a amostra é relativamente pequena, usamos o teste t de Student para uma amostra. A estatística de teste é
onde:
-
é a média amostral, -
é a média hipotética sob , -
é o desvio padrão amostral, -
é o tamanho da amostra, -
é o erro padrão da média (explico: é a estimativa do desvio-padrão da distribuição amostral de ; reduzir dividindo por mostra que amostras maiores dão estimativas mais precisas).
Passo 3
Calculemos o erro padrão e a estatística
.
Primeiro,
.
O erro padrão é
A estatística de teste é
ou seja,
.
Interpretação numérica rápida: a média amostral está
km abaixo da média hipotética, o que corresponde a aproximadamente
erros-padrão — isso já dá uma sensação de que é uma distância grande sob
.
Passo 4
Regra de decisão (teste bicaudal): com
graus de liberdade, rejeitamos
ao nível
se
Aqui
(valor crítico fornecido para
em teste bicaudal).
Calculamos
. Como
temos evidência suficiente para rejeitar
.
Intuição didática: estamos comparando quantos erros-padrão a média amostral está afastada do valor alegado. Mais de
erros-padrão é bastante improvável se a média real fosse
, por isso a hipótese original não se sustenta.
Passo 5
Sobre o valor-p: tabelas ou calculadoras dão o valor-p bicaudal associado a
com
graus de liberdade; esse valor-p é pequeno (menor que
), isto é, muito menor que
. Isso reforça a decisão de rejeitar
.
Contexto final (como seria dito numa prova): rejeitamos a alegação do fabricante de que a média é
km — a amostra sugere que a média é diferente, neste caso menor.
Resposta
Rejeita-se
. Estatística de teste
e
, portanto, ao nível de significância de
, há evidência de que a média da vida útil dos pneus é diferente de
km (a amostra indica média menor).