Distribuindo ao acaso 5 sorvetes de creme e 5 de chocolate a 10 pessoas, das quais 3 preferem creme, 2 preferem chocolate e as demais não têm preferência, qual é a probabilidade de todas saírem satisfeitas?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos 10 pessoas para quem vamos distribuir 5 sorvetes de creme e 5 de chocolate. Dentre essas pessoas, 3 preferem creme, 2 preferem chocolate e as outras 5 não têm preferência. O objetivo é descobrir a probabilidade de que todas as pessoas fiquem satisfeitas com seus sorvetes.
Passo 2
Para resolver isso, precisamos calcular duas coisas: o número de maneiras favoráveis de distribuir os sorvetes (onde todos ficam satisfeitos) e o número total de maneiras possíveis de distribuir os sorvetes sem restrições.
Passo 3
Vamos começar calculando o número total de maneiras de distribuir 5 sorvetes de creme entre 10 pessoas. Isso é uma combinação, já que a ordem não importa. A fórmula para combinação é:
Onde $ n $ é o total de pessoas e $ k $ é o número de sorvetes de creme.
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o número de maneiras favoráveis. Para que todos fiquem satisfeitos:
- As 3 pessoas que preferem creme devem receber sorvete de creme.
- As 2 pessoas que preferem chocolate devem receber sorvete de chocolate.
Depois disso, restarão 5 pessoas que não têm preferência, e elas podem receber qualquer sabor. Mas já usamos 3 sorvetes de creme para as preferências, então restam $ 5 - 3 = 2 $ sorvetes de creme e 5 de chocolate.
Vamos distribuir os 2 sorvetes de creme restantes entre as 5 pessoas sem preferência:
As 3 pessoas restantes sem preferência receberão os 5 sorvetes de chocolate automaticamente.
Passo 5
Agora, para encontrar a probabilidade, dividimos o número de maneiras favoráveis pelo número total de maneiras possíveis:
Resposta
A probabilidade de que todas as pessoas fiquem satisfeitas é aproximadamente $ 0,0397 $ ou $ \frac{5}{126} $.