Se P(A)=0,4, P(B)=0,5, P(C)=P(A cap B)=0,3, P(A cap C)= 0 e P(B cap C)=0,1, determine:
P[A cap(B cup C)].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá algumas probabilidades de eventos A, B e C, e suas interseções. A matéria que vamos usar aqui é Probabilidade, focando em eventos e suas interseções e uniões. Precisamos encontrar a probabilidade de $ P[A \cap (B \cup C)] $. Para isso, vamos usar as regras de interseção e união de eventos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ A \cap (B \cup C) $. Isso representa todos os casos onde o evento A acontece e pelo menos um dos eventos B ou C também acontece. Em termos de conjuntos, é a parte de A que está dentro da união de B e C.

Passo 3

Vamos aplicar a propriedade distributiva das interseções sobre as uniões. Ou seja:
A cap (B cup C) = (A cap B) cup (A cap C)
Isso significa que a probabilidade que queremos encontrar pode ser dividida em duas partes: a interseção de A com B e a interseção de A com C.

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da união de dois eventos:
P[(A cap B) cup (A cap C)] = P(A cap B) + P(A cap C) - P(A cap B cap C)
Essa fórmula evita contar duas vezes a parte que está na interseção dos três eventos.

Passo 5

Vamos substituir os valores que temos:
  • $ P(A \cap B) = 0,3 $
  • $ P(A \cap C) = 0 $ (segundo o enunciado)
  • $ P(A \cap B \cap C) $: Como $ P(A \cap C) = 0 $, não há nenhuma parte onde A, B e C acontecem juntos. Logo, $ P(A \cap B \cap C) = 0 $
Substituindo na fórmula:
P(A cap B) = 0,3

Resposta

Então, a probabilidade $ P[A \cap (B \cup C)] $ é 0,3.

Exercícios relacionados