Se A for um vetor constante, demonstre que nabla(A cdot r)=A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos aqui pede para demostrar que o gradiente do produto escalar entre um vetor constante A e o vetor posição r é igual a A. Estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com operações envolvendo gradiente e produto escalar. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como ele atua sobre funções escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor posição r. Em coordenadas cartesianas, r = xi + yj + zk, onde x, y e z são as coordenadas espaciais e i, j, k são os vetores unitários nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Agora, o produto escalar A cdot r é uma função escalar que resulta em Ax x + Ay y + Az z, onde Ax, Ay, e Az são as componentes do vetor A.

Passo 4

O gradiente de uma função escalar, digamos f(x, y, z), é um vetor que aponta na direção de maior aumento de f e é dado por:
nabla f = partial fpartial xi + partial fpartial yj + partial fpartial zk
Então, para calcular nabla(A cdot r), precisamos encontrar as derivadas parciais de Ax x + Ay y + Az z em relação a x, y e z.

Passo 5

Vamos calcular cada derivada parcial:
partialpartial x(Ax x + Ay y + Az z) = Ax
partialpartial y(Ax x + Ay y + Az z) = Ay
partialpartial z(Ax x + Ay y + Az z) = Az

Passo 6

Agora, juntando tudo, o gradiente fica:
nabla(A cdot r) = Ax i + Ay j + Az k = A

Resposta

Portanto, demonstramos que nabla(A cdot r) = A.

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