Se
for um vetor constante, demonstre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos aqui pede para demostrar que o gradiente do produto escalar entre um vetor constante
e o vetor posição
é igual a
. Estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com operações envolvendo gradiente e produto escalar. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como ele atua sobre funções escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor posição
. Em coordenadas cartesianas,
, onde
,
e
são as coordenadas espaciais e
,
,
são os vetores unitários nas direções dos eixos
,
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, o produto escalar
é uma função escalar que resulta em
, onde
,
, e
são as componentes do vetor
.
Passo 4
O gradiente de uma função escalar, digamos
, é um vetor que aponta na direção de maior aumento de
e é dado por:
Então, para calcular
, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 5
Vamos calcular cada derivada parcial:
Passo 6
Agora, juntando tudo, o gradiente fica:
Resposta
Portanto, demonstramos que
.