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O volume de sólidos de revolução pode ser calculado usando o método dos discos, que consiste em somar o volume de discos infinitesimais ao longo do eixo de rotação. Considere a função f(x)=x^{2} no intervalo 0,1. Qual é o volume do sólido gerado pela revolução da curva em torno do eixo x ?
C) \frac{\pi}{2}.
a) \quad \frac{\pi}{5}.
b) \quad \frac{\pi}{4}.
d) \frac{2 \pi}{3}.
e) \frac{\pi}{3}.
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Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao revolver a curva y=f(x)=x^2 para x de 0 a 1 em torno do eixo x. O conteúdo é o método dos discos, onde somamos volumes elementares de discos de raio igual a f(x) e espessura infinitesimal dx.

Passo 2

Pelo método dos discos, o volume é dado por
V = \pi \int_{0}^{1} \bigl[f(x)\bigr]^{2}\,dx.

Passo 3

Substituindo f(x)=x^2, temos
\bigl[f(x)\bigr]^{2} = (x^2)^{2} = x^4,
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V = \pi \int_{0}^{1} x^4\,dx.

Passo 4

Calculamos a integral:
\int_{0}^{1} x^4\,dx = \left[\frac{x^5}{5}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{5}.
Portanto,
V = \pi \cdot \frac{1}{5} = \frac{\pi}{5}.

Resposta

a) \displaystyle \frac{\pi}{5}

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