Divida o polinômio 2 x^{3}-5 x^{2}+4 x+10 pelo binômio x-3. O valor x=3 é uma raiz do polinômio? (valor: 1,0 pto)

Passo 1

O enunciado pede para dividir o polinômio
2x^{3}-5x^{2}+4x+10
pelo binômio (x-3) e verificar se x=3 é raiz. O conteúdo usado é divisão de polinômios (Regra de Ruffini) e Teorema do Resto (que diz que o resto ao dividir por (x-a) é f(a)).

Passo 2

Aplicamos a Regra de Ruffini com a=3. Extraímos os coeficientes de 2x^{3}-5x^{2}+4x+10:
\begin{array}{c|rrrr} 3 & 2 & -5 & 4 & 10\\hline & & & & \\\ \end{array}

Passo 3

Procedemos à divisão sintética:
  1. Baixamos o 2 para o quociente.
  2. Multiplicamos 3\cdot 2=6 e somamos a -5, obtendo 1.
  3. Multiplicamos 3\cdot 1=3 e somamos a 4, obtendo 7.
  4. Multiplicamos 3\cdot 7=21 e somamos a 10, obtendo 31 (resto).
Fica assim:
\begin{array}{c|rrrr} 3 & 2 & -5 & 4 & 10\\hline & & 6 & 3 & 21\\\ & 2 & 1 & 7 & 31 \end{array}
Logo, o quociente é 2x^{2}+1x+7 e o resto é 31.

Passo 4

Pelo Teorema do Resto, o resto da divisão por (x-3) é f(3). Como o resto é 31\neq0, concluímos que x=3 não é raiz de 2x^{3}-5x^{2}+4x+10.

Resposta

O quociente é 2x^{2}+x+7 e o resto é 31. Portanto, x=3 não é raiz do polinômio.

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