Resolva as inequações:
\frac{x^{2}}{x-2}<8

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
\frac{x^{2}}{x-2} < 8.
Aqui o conteúdo é inequações racionais. Precisamos:
  1. Identificar o domínio da expressão (proibir divisor zero).
  2. Colocar tudo num só membro sobre um único denominador.
  3. Analisar o sinal do numerador e do denominador separadamente.

Passo 2

Determinamos o domínio: não podemos ter x-2=0, logo
x \neq 2.

Passo 3

Passamos tudo para o mesmo lado e reduzimos a uma única fração:
\frac{x^{2}}{x-2} - 8 < 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2} - 8(x-2)}{x-2} < 0.

Passo 4

Simplificamos o numerador:
x^{2} - 8(x-2) = x^{2} - 8x + 16 = (x-4)^{2}.
Assim a inequação vira
\frac{(x-4)^{2}}{x-2} < 0.

Passo 5

Estudamos o sinal de cada fator:
  • O numerador (x-4)^{2} é sempre não negativo e só vale zero em x=4.
  • O denominador x-2 é negativo exatamente quando x<2.
Para a fração ser negativa precisamos numerador positivo e denominador negativo.
O numerador é positivo para todo x\neq4.
O denominador é negativo para x<2.

Passo 6

Concluímos que a solução é
x<2,
descontando o ponto proibido x=2. O ponto x=4 dá valor zero na fração, não satisfazendo o “<0”, e além disso 4>2.

Resposta

(-\infty,2)

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