Uma divida será paga mensalmente sendo que a cada vez se pagará 2000 da divida restante. Após quantos meses a divida incial terá se reduzido a menos da metade dela?

Passo 1

O enunciado diz que a cada mês se paga uma porcentagem fixa da dívida que ainda resta. Especificamente, paga-se 20% da dívida residual. O conteúdo que vamos usar é o de progressão geométrica (decrescimento exponencial) e a função logarítmica para achar depois quantos meses são necessários.

Passo 2

Seja D0 o valor inicial da dívida. A cada mês paga-se 20% da dívida restante, ou seja, sobra 80% da dívida anterior. Então, após n meses, a dívida Dn vale
Dn = D0 times (1 - 0,20)^n = D0 times 0,8^n
Queremos saber quando Dn fica menor que a metade da dívida inicial, isto é,
Dn < D02
Substituindo a fórmula de Dn, obtemos
D0 times 0,8^n < D02

Passo 3

Podemos dividir ambos os lados por D0>0 e resolver
0,8^n < 12
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados, temos
lnl(0,8^nr) < ln!l(tfrac12r) Longrightarrow n ,ln(0,8) < ln(0,5)
Como ln(0,8)<0, ao dividir por esse número invertemos o sinal da desigualdade:
n > ln(0,5)ln(0,8)
Numericamente,
ln(0,5)ln(0,8) approx -0,6931-0,2231 approx 3,11

Passo 4

O n precisa ser inteiro e maior que 3,11. Portanto, o menor n inteiro que satisfaz é n=4.

Resposta

A dívida será reduzida a menos da metade após 4 meses.

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