Uma divida será paga mensalmente sendo que a cada vez se pagará 2000 da divida restante. Após quantos meses a divida incial terá se reduzido a menos da metade dela?
Passo 1
O enunciado diz que a cada mês se paga uma porcentagem fixa da dívida que ainda resta. Especificamente, paga-se
da dívida residual. O conteúdo que vamos usar é o de progressão geométrica (decrescimento exponencial) e a função logarítmica para achar depois quantos meses são necessários.
Passo 2
Seja
o valor inicial da dívida. A cada mês paga-se
da dívida restante, ou seja, sobra
da dívida anterior. Então, após
meses, a dívida
vale
Queremos saber quando
fica menor que a metade da dívida inicial, isto é,
Substituindo a fórmula de
, obtemos
Passo 3
Podemos dividir ambos os lados por
e resolver
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados, temos
Como
, ao dividir por esse número invertemos o sinal da desigualdade:
Numericamente,
Passo 4
O
precisa ser inteiro e maior que
. Portanto, o menor
inteiro que satisfaz é
.
Resposta
A dívida será reduzida a menos da metade após 4 meses.