Um empréstimo de \mathrm{R} \ 800.000,00 deve ser devolvido, em 10 prestações semestrais à taxa deçõà10,25 %$ ao ano, obtenha a planilha, pelos seguintes sistemas. Calcule o valor da primeira parcela e da última para os sistemas:
b) SAC

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Valor do empréstimo (valor presente): \mathrm{R}\$ 800.000,00.
  • Número de prestações: 10 prestações semestrais.
  • Taxa informada: 10{,}25\% ao ano.
  • Sistema requerido: SAC (Sistema de Amortização Constante).
    Pergunta que vamos responder: calcular o valor da primeira parcela e o valor da última parcela no sistema SAC.

Passo 2

Primeiro precisamos definir a taxa por período (semestral). Aqui vou usar a hipótese mais comum e simples em exercícios elementares: a taxa anual foi dada como uma taxa nominal com capitalização semestral, então a taxa semestral é a metade da anual. Logo,
i = \frac{10{,}25\%}{2} = 5{,}125\% = 0{,}05125.
Explicando por que: como as prestações são semestrais, precisamos da taxa correspondente a cada semestre. Dividir a taxa anual por 2 é a forma usual quando a taxa é nominal com capitalização no mesmo período das parcelas (a alternativa mais “precisa” seria converter taxa efetiva anual para semestral por (1+0{,}1025)^{1/2}-1, mas isso é mais trabalhoso e raramente pedido em exercícios básicos; aqui usamos a versão mais direta).

Passo 3

No sistema SAC a amortização de capital é constante em cada parcela. A amortização por período \,A, é:
A = \frac{\text{PV}}{n} = \frac{800.000}{10} = 80.000.
Explicação didática: amortização é a parte da parcela que reduz o saldo devedor. Como no SAC essa parte é sempre igual, basta dividir o principal pelo número de parcelas. Aqui, a cada semestre pagamos \mathrm{R}\$ 80.000,00 de amortização do capital.

Passo 4

Agora calculamos os juros do primeiro período. No SAC os juros do período k são calculados sobre o saldo devedor no começo do período k. Para o primeiro período o saldo inicial é o principal total \text{PV}=800.000. Assim:
\text{Juros}_1 = 800.000 \times i = 800.000 \times 0{,}05125.
Faço a multiplicação quebrada para você entender sem calculadora:
800.000 \times 0{,}05 = 40.000,
800.000 \times 0{,}00125 = 1.000,
somando,
\text{Juros}_1 = 40.000 + 1.000 = 41.000.
Ou seja, os juros do primeiro semestre são \mathrm{R}\$ 41.000,00.

Passo 5

A parcela (prestação) é a soma da amortização constante A com os juros do período. Então a primeira parcela é
\text{Parcela}_1 = A + \text{Juros}_1 = 80.000 + 41.000 = 121.000.
Portanto a primeira parcela vale \mathrm{R}\$ 121.000,00.

Passo 6

Para calcular a última parcela precisamos do saldo devedor imediatamente antes da última parcela (ou seja, antes do pagamento do décimo período). Em SAC o saldo devedor após pagar k amortizações é
\text{Saldo após }k = \text{PV} - k\cdot A.ó
Antes da 10ª parcela o saldo é o que resta após 9 amortizações:
\text{Saldo antes da parcela}_{10} = 800.000 - 9\cdot 80.000 = 800.000 - 720.000 = 80.000.
Isso faz sentido: no penúltimo passo ainda resta um único amortização de 80.000 a ser paga.

Passo 7

Calculemos os juros do décimo período sobre esse saldo de \,80.000:
\text{Juros}_{10} = 80.000 \times i = 80.000 \times 0{,}05125.
Novamente faço em partes:
80.000 \times 0{,}05 = 4.000,
80.000 \times 0{,}00125 = 100,
somando,
\text{Juros}_{10} = 4.000 + 100 = 4.100.

Passo 8

A última parcela (10ª) é a soma da amortização A com os juros do décimo período:
\text{Parcela}_{10} = A + \text{Juros}_{10} = 80.000 + 4.100 = 84.100.
Portanto a última parcela vale \mathrm{R}\$ 84.100,00.

Resposta

\text{Primeira parcela: }\mathrm{R}\$ 121.000,00
\text{Última parcela: }\mathrm{R}\$ 84.100,00Ú

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