Divida
por
, com o auxílio do resultado, conclua que
).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para dividir $ x^{3} - 8 $ por $ x - 2 $ e, usando o resultado dessa divisão, mostrar que $ x^{3} - a^{3} = (x - a)\left(x^{2} + a x + a^{2}\right) $. Aqui, estamos trabalhando com divisão de polinômios e identidades algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir $ x^{3} - 8 $ por $ x - 2 $. Para isso, podemos usar a divisão polinomial. Lembrando que $ x^{3} - 8 $ pode ser escrito como $ x^{3} - 2^{3} $, já que $ 2^{3} = 8 $.
Passo 3
Usando a fórmula da diferença de cubos, que é $ a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + a b + b^{2}) $, podemos identificar que $ a = x $ e $ b = 2 $. Então, substituindo na fórmula:
Passo 4
Portanto, ao dividir $ x^{3} - 8 $ por $ x - 2 $, o resultado é $ x^{2} + 2x + 4 $. Isso confirma a aplicação da fórmula da diferença de cubos na divisão de polinômios.
Passo 5
Agora, para concluir que $ x^{3} - a^{3} = (x - a)\left(x^{2} + a x + a^{2}\right) $, basta generalizar o que fizemos. Na nossa divisão, substituímos $ 2 $ por $ a $, então a fórmula fica:
Resposta
Assim, demonstramos que $ x^{3} - a^{3} = (x - a)\left(x^{2} + a x + a^{2}\right) $.