Divida x^3-8 por x-2 e, com o auxílio do resultado, conclua que x^3-a^3=(x-a)(x^2+ a x+a^2 ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para dividir $ x^{3} - 8 $ por $ x - 2 $ e, usando o resultado dessa divisão, mostrar que $ x^{3} - a^{3} = (x - a)\left(x^{2} + a x + a^{2}\right) $. Aqui, estamos trabalhando com divisão de polinômios e identidades algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir $ x^{3} - 8 $ por $ x - 2 $. Para isso, podemos usar a divisão polinomial. Lembrando que $ x^{3} - 8 $ pode ser escrito como $ x^{3} - 2^{3} $, já que $ 2^{3} = 8 $.

Passo 3

Usando a fórmula da diferença de cubos, que é $ a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + a b + b^{2}) $, podemos identificar que $ a = x $ e $ b = 2 $. Então, substituindo na fórmula:
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + a b + b^2)

Passo 4

Portanto, ao dividir $ x^{3} - 8 $ por $ x - 2 $, o resultado é $ x^{2} + 2x + 4 $. Isso confirma a aplicação da fórmula da diferença de cubos na divisão de polinômios.

Passo 5

Agora, para concluir que $ x^{3} - a^{3} = (x - a)\left(x^{2} + a x + a^{2}\right) $, basta generalizar o que fizemos. Na nossa divisão, substituímos $ 2 $ por $ a $, então a fórmula fica:
x^3 - a^3 = (x - a)(x^2 + a x + a^2)

Resposta

Assim, demonstramos que $ x^{3} - a^{3} = (x - a)\left(x^{2} + a x + a^{2}\right) $.

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