Resolva as equações com coeficientes lineares.
Passo 1
A equação dada é
. Aqui o conteúdo é formas diferenciais de primeira ordem com coeficientes afins (lineares mais termo constante), e vamos usar uma mudança de variáveis para centrar a forma em um ponto que zere ambos os coeficientes, de modo a obter uma equação homogênea.
Passo 2
Primeiro encontramos o ponto
que zera simultaneamente as expressões
e
. Resolvendo o sistema
temos
e
. Definimos então
Substituindo,
e
, e a equação vira
Passo 3
Reescrevendo como derivada, temos
Note que essa é uma equação homogênea de grau zero em
, pois tanto numerador quanto denominador são lineares sem termo independente.
Passo 4
Fazemos a substituição padrão para homogêneas:
. Então
e a equação fica
Isolando
:
Passo 5
Agora separamos variáveis:
Fazendo frações parciais em
, integramos ambos os lados:
Passo 6
Reagrupando os logaritmos:
ou seja
para constante
.
Passo 7
Voltamos às variáveis originais:
,
e
. Depois de simplificar, obtemos a solução implícita
Resposta
A solução geral está dada implicitamente por
com
constante arbitrária.