Resolva as equações com coeficientes lineares.
(2 x-y) d x+(4 x+y-3) d y=0

Passo 1

A equação dada é (2x - y),dx + (4x + y - 3),dy = 0. Aqui o conteúdo é formas diferenciais de primeira ordem com coeficientes afins (lineares mais termo constante), e vamos usar uma mudança de variáveis para centrar a forma em um ponto que zere ambos os coeficientes, de modo a obter uma equação homogênea.

Passo 2

Primeiro encontramos o ponto (x0,y0) que zera simultaneamente as expressões 2x - y e 4x + y - 3. Resolvendo o sistema
2x - y = 0, 4x + y - 3 = 0,
temos x0 = tfrac12 e y0 = 1. Definimos então
u = x - tfrac12, v = y - 1
Substituindo, dx = du e dy = dv, e a equação vira
(2u - v),du + (4u + v),dv = 0

Passo 3

Reescrevendo como derivada, temos
dvdu = -2u - v4u + v = v - 2u4u + v
Note que essa é uma equação homogênea de grau zero em (u,v), pois tanto numerador quanto denominador são lineares sem termo independente.

Passo 4

Fazemos a substituição padrão para homogêneas: v = w u. Então
dvdu = w + udwdu,
e a equação fica
w + udwdu = w - 2w + 4
Isolando dw/du:
udwdu = -(w + 1)(w + 2)w + 4

Passo 5

Agora separamos variáveis:
w + 4(w + 1)(w + 2),dw = -duu
Fazendo frações parciais em dfracw + 4(w + 1)(w + 2) = dfrac3w + 1 - dfrac2w + 2, integramos ambos os lados:
3ln|w + 1| - 2ln|w + 2| = -ln|u| + C

Passo 6

Reagrupando os logaritmos:
lnl(|u|,(w + 1)^3/(w + 2)^2r) = C
ou seja
u,(w + 1)^3 = K,(w + 2)^2
para constante K = e^C.

Passo 7

Voltamos às variáveis originais: u = x - tfrac12, v = y - 1 e w = v/u = tfracy - 1x - 1/2. Depois de simplificar, obtemos a solução implícita
(2x + 2y - 3)^3(2x + y - 2)^2 = constante

Resposta

A solução geral está dada implicitamente por
(2x + 2y - 3)^3 = C,(2x + y - 2)^2,
com C constante arbitrária.

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