Na divisão euclidiana do inteiro 725 por um inteiro positivo o resto obtido é 34 . Encontre os números inteiros que são os possíveis divisores e quocientes.
Passo 1
O enunciado diz que ao dividir o inteiro
por um divisor positivo
obtemos resto
. Estamos no contexto do Teorema da Divisão Euclidiana, que afirma que existem inteiros únicos
(quociente) e
(resto) tais que
com
. Aqui já sabemos
, então
e precisamos encontrar todos os pares
inteiros que satisfazem isso.
Passo 2
Substituindo
em
passamos o
para o outro lado:
Isto mostra que
deve ser um divisor de
.
Passo 3
Agora vamos fatorar
. Testando divisões por primos até
, vemos que nenhum primo menor (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23) divide
. Concluímos então que
é primo. Os divisores positivos de um número primo são apenas
e ele mesmo,
.
Passo 4
Como precisamos de
, descartamos
. Sobram:
Passo 5
Para cada
válido, o quociente é dado por
Com
obtemos
Resposta
O único divisor possível é
e o respectivo quociente é
.