Sejam
.
Se
, mostre que,
, temos que
divide
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer
com
e todo
,
, temos
O truque é usar a fatoração clássica da diferença de potências, que vem da soma de uma progressão geométrica.
Passo 2
Considere a soma
Multiplicando
por
obtemos
Ao desenvolver cada produto, todas as parcelas intermediárias se cancelam em “cascata”, sobrando apenas
Portanto
Passo 3
Como
é soma de potências inteiras de
e
, temos
. Logo
é divisor de
, isto é,
Resposta
Foi demonstrado que
portanto
divide
para todo
.