Na divisão euclidiana do inteiro 725 por um inteiro positivo o resto obtido é 34 . Encontre os números inteiros que são os possíveis divisores e quocientes.

Passo 1

O enunciado diz que ao dividir o inteiro 725 por um divisor positivo d obtemos resto 34. Estamos no contexto do Teorema da Divisão Euclidiana, que afirma que existem inteiros únicos q (quociente) e r (resto) tais que
725 = d\,q + r
com 0 \le r < d. Aqui já sabemos r = 34, então d > 34 e precisamos encontrar todos os pares (d,q) inteiros que satisfazem isso.

Passo 2

Substituindo r = 34 em
725 = d\,q + 34
passamos o 34 para o outro lado:
725 - 34 = d\,q
691 = d\,q.
Isto mostra que d deve ser um divisor de 691.

Passo 3

Agora vamos fatorar 691. Testando divisões por primos até \sqrt{691}\approx26{,}3, vemos que nenhum primo menor (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23) divide 691. Concluímos então que 691 é primo. Os divisores positivos de um número primo são apenas 1 e ele mesmo, 691.

Passo 4

Como precisamos de d>34, descartamos d=1. Sobram:
d = 691.

Passo 5

Para cada d válido, o quociente é dado por
q = \frac{691}{d}.
Com d=691 obtemos
q = \frac{691}{691} = 1.

Resposta

O único divisor possível é 691 e o respectivo quociente é 1.

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