Seja f(x, y)=cllx^3 yx^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0).
(b) Prove que f é diferenciável em R^2.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
Temos a função f: R^2to R dada por
f(x,y)=x^3yx^2+y^2&se (x,y)neq(0,0),0&se (x,y)=(0,0)
O objetivo é mostrar que f é diferenciável em todo R^2. Para isso vamos usar a teoria de diferenciação em várias variáveis: em pontos onde a fórmula é uma razão de polinômios sem singularidade, f é cliente de classe C^infty, restando só checar o ponto (0,0).

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0), a função é composta de operações algébricas (polinômios e divisão por x^2+y^2, que não se anula). Logo ela é de classe C^infty nessas regiões, portanto diferenciável em todo ponto (x,y)neq(0,0).

Passo 3

No ponto (0,0) calculamos as derivadas parciais pelo limite das diferenças quociente:
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=0-0h=0,
partial fpartial y(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k=0-0k=0
Então o candidato a diferencial linear em (0,0) é a aplicação nula L(h,k)=0.

Passo 4

Precisamos verificar a definição de diferenciabilidade em (0,0), ou seja que
lim(h,k)to(0,0)f(h,k)-L(h,k)raizh^2+k^2=0
Como L(h,k)=0, basta mostrar
l|f(h,k)r|<= C,(h^2+k^2)
próximo de (0,0). Note que, se definirmos r=raizh^2+k^2, então |h|<= r e |k|<= r, logo
|f(h,k)|=|h^3kh^2+k^2|<=|h|^3|k|h^2+k^2<=r^4r^2=r^2
Portanto
|f(h,k)raizh^2+k^2|<=r^2r=rto0
quando (h,k)to(0,0).

Passo 5

Com isso satisfazemos a definição de diferenciabilidade em (0,0). Juntando com o caso (x,y)neq(0,0), concluímos que f é diferenciável em todo R^2.

Resposta

A função f é diferenciável em R^2. Em (0,0), o diferencial é a aplicação nula.

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