O enunciado define a função por partes
Temos a função dada por
O objetivo é mostrar que é diferenciável em todo . Para isso vamos usar a teoria de diferenciação em várias variáveis: em pontos onde a fórmula é uma razão de polinômios sem singularidade, é cliente de classe , restando só checar o ponto .
Passo 2
Para , a função é composta de operações algébricas (polinômios e divisão por , que não se anula). Logo ela é de classe nessas regiões, portanto diferenciável em todo ponto .
Passo 3
No ponto calculamos as derivadas parciais pelo limite das diferenças quociente:
Então o candidato a diferencial linear em é a aplicação nula .
Passo 4
Precisamos verificar a definição de diferenciabilidade em , ou seja que
Como , basta mostrar
próximo de (0,0). Note que, se definirmos r=raizh^2+k^2, então |h|<= r e |k|<= r, logo