(CN) Em uma divisão de números naturais, \mathrm{D}=2012 é o dividendo, d é o divisor, q é o quociente e r é o resto. Sabese que 0 \mp d=21 ou q=21. Um resultado possível para r+d ou r+q é:
a) 92
b) 122
c) 152

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma verificação das alternativas:
  • Dividendo: D=2012.
  • Divisor: d (número natural).
  • Quociente: q (número natural).
  • Resto: r (número natural) com a condição padrão da divisão: 0 \le r < d.
    O enunciado diz que ou d=21 ou q=21. A pergunta é: um resultado possível para r+d ou para r+q é qual das alternativas abaixo?
    a) 92
    b) 122
    c) 152

Passo 2

Lembrando a definição da divisão inteira: para qualquer divisão com divisor d, quociente q e resto r vale a relação
D = d\cdot q + r,
com 0 \le r < d. Vou analisar separadamente as duas possibilidades dadas pelo enunciado: (i) d=21 e (ii) q=21. Em cada caso vou calcular r e então r+d ou r+q quando for pertinente, comparando com as alternativas.

Passo 3

Caso (i): d=21. Substituindo na relação da divisão:
2012 = 21\cdot q + r,\qquad 0 \le r < 21.
Para encontrar q e r calculo a divisão inteira de 2012 por 21.
21\cdot 95 = 1995,\quad 21\cdot 96 = 2016 (>2012),
logo o quociente inteiro é q=95 e o resto é
r = 2012 - 21\cdot95 = 2012 - 1995 = 17.
Então r+d = 17 + 21 = 38 e r+q = 17 + 95 = 112. Entre as alternativas (92,122,152) nenhuma é igual a 38 ou a 112. Portanto, se d=21 não obtemos nenhuma das alternativas.

Passo 4

Caso (ii): q=21. Substituo na relação da divisão:
2012 = d\cdot 21 + r,\qquad 0 \le r < d.
Dessa igualdade segue que r = 2012 - 21d. A condição r \ge 0 2012 - 21d \ge 0, isto é d \le \lfloor 2012/21\rfloor. A condição r < d 2012 - 21d < d, isto é 2012 < 22d ou d > 2012/22. Vou transformar essas desigualdades em valores inteiros:
\frac{2012}{21} \approx 95{,}809\ldots \implies d \le 95,
\frac{2012}{22} \approx 91{,}4545\ldots \implies d \ge 92.
Portanto d é um inteiro em \{92,93,94,95\}. Para cada um desses calculo r e então r+d.

Passo 5

Calculemos cada caso d\in\{92,93,94,95\}:
  • Para d=92:
r = 2012 - 21\cdot92 = 2012 - 1932 = 80.
Então r+d = 80 + 92 = 172.
  • Para d=93:
r = 2012 - 21\cdot93 = 2012 - 1953 = 59.
Então r+d = 59 + 93 = 152.
  • Para d=94:
r = 2012 - 21\cdot94 = 2012 - 1974 = 38.
Então r+d = 38 + 94 = 132.
  • Para d=95:
r = 2012 - 21\cdot95 = 2012 - 1995 = 17.
Então r+d = 17 + 95 = 112.
Observação: em todos esses casos temos 0 \le r < d, então são divisões válidas com q=21.

Passo 6

Comparando os valores encontrados de r+d (quando q=21) com as alternativas, vemos que r+d = 152 ocorre para d=93. Nas opções dadas, 152 corresponde à alternativa (c). Já no caso d=21 (Passo 3) não obtivemos nenhuma das alternativas. Portanto, uma possibilidade consistente com o enunciado é q=21 e d=93, que dá r+d=152.

Resposta

c) 152

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