Divisão de polinômios: Use divisão de polinômios para calcular os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{3}+2 x^{2}-x-2}{x^{2}+3 x+2}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to-1}\frac{x^{3}+2x^{2}-x-2}{x^{2}+3x+2}.
As informações que temos do enunciado:
  • Numerador: x^{3}+2x^{2}-x-2.
  • Denominador: x^{2}+3x+2.
  • A pergunta é somente: qual é o valor desse limite quando x tende para -1.
Observação inicial (apenas informação, sem resolver ainda): se substituirmos x=-1 diretamente em cada polinômio obtemos
\text{numerador em }-1 = (-1)^{3}+2(-1)^{2}-(-1)-2 = 0, \qquad \text{denominador em }-1 = (-1)^{2}+3(-1)+2 = 0,
ou seja, a forma é 0/0 — um indeterminado. Por isso precisamos manipular algébrica e cuidadosamente a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 2

Lembrete didático curto sobre divisão de polinômios e limites:
  • A divisão euclidiana de polinômios diz que, dados um dividendo P(x) e um divisor D(x) com \deg D\le\deg P, existem polinômios Q(x) (quociente) e R(x) (resto) tais que
P(x)=D(x)\,Q(x)+R(x),
com \deg R<\deg D (ou R(x)=0). Então
\frac{P(x)}{D(x)}=Q(x)+\frac{R(x)}{D(x)}.
  • Para limites: se ao fazer essa divisão o resto for 0, então a fração coincide (para todo x onde o divisor não é zero) com o polinômio Q(x), que é contínuo, e o limite no ponto se obtém apenas substituindo esse ponto em Q(x).
  • Em termos práticos: dividir polinômios é parecido com divisão de números: determina-se termo a termo o quociente usando os termos de maior grau, multiplica-se e subtrai-se para obter o resto, e repete-se até que o grau do resto seja menor que o do divisor.
Vou aplicar essa divisão ao nosso caso: dividir o numerador P(x)=x^{3}+2x^{2}-x-2 pelo divisor D(x)=x^{2}+3x+2.

Passo 3

Primeiro passo da divisão (termo dominante):
  • Compare termos de maior grau: o termo dominante do dividendo é x^{3} e do divisor é x^{2}.
  • O primeiro termo do quociente é
\frac{x^{3}}{x^{2}}=x.
  • Multiplica-se o divisor por esse termo x:
x\cdot\bigl(x^{2}+3x+2\bigr)=x^{3}+3x^{2}+2x.
  • Subtrai-se esse produto do dividendo para obter o resto parcial:
\bigl(x^{3}+2x^{2}-x-2\bigr)-\bigl(x^{3}+3x^{2}+2x\bigr) = -x^{2}-3x-2.
Portanto, após a primeira etapa temos quociente parcial x e resto atual -x^{2}-3x-2.

Passo 4

Segundo passo da divisão (continuar até o grau do resto ser menor que o do divisor):
  • Agora o resto atual tem termo dominante -x^{2}, e o divisor tem termo dominante x^{2}. O próximo termo do quociente é
\frac{-x^{2}}{x^{2}}=-1.
  • Multiplica-se o divisor por -1:
-1\cdot\bigl(x^{2}+3x+2\bigr) = -x^{2}-3x-2.
  • Subtrai-se esse produto do resto anterior:
\bigl(-x^{2}-3x-2\bigr)-\bigl(-x^{2}-3x-2\bigr)=0.
O resto final é 0. Assim a divisão é exata e o quociente completo é
Q(x)=x-1, \qquad R(x)=0.

Passo 5

Interpretação e conclusão usando o resultado da divisão:
  • Como P(x)=D(x)\,Q(x)+0, temos para todo x tal que D(x)\neq0,
\frac{P(x)}{D(x)}=Q(x)=x-1.
  • A função dada coincide com o polinômio x-1 em todos os pontos onde o denominador não é zero (ou seja, exceto em x=-1 e x=-2). O limite em x\to-1 depende apenas do comportamento arbitrariamente próximo de -1, e polinômios são funções contínuas. Então
\lim_{x\to-1}\frac{x^{3}+2x^{2}-x-2}{x^{2}+3x+2} = \lim_{x\to-1}(x-1).
  • Agora avalia-se o polinômio em x=-1:
(-1)-1 = -2.

Passo 6

Comentário extra (método alternativo e interpretação prática para a prova):
  • Alternativa: podia-se também fatorar os polinômios para ver o cancelamento. De fato, fatorando o numerador por agrupamento:
x^{3}+2x^{2}-x-2 = x^{2}(x+2)-1(x+2)=(x+2)(x^{2}-1)=(x+2)(x-1)(x+1).
O denominador fatoriza como
x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2).
Cancelando (x+1)(x+2) obtemos novamente x-1.
  • Interpretação: a forma 0/0 indica uma descontinuidade removível em x=-1; o procedimento (divisão ou fatoração) remove o fator comum e permite avaliar o limite substituindo normalmente no polinômio resultante.
  • Dica para a prova: ao ver 0/0 com polinômios, tente fatorar (procurar raízes inteiras óbvias) ou fazer divisão de polinômios para simplificar; isso costuma ser rápido e confiável.

Resposta

-2

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