Divisão de polinômios: Use divisão de polinômios para calcular os limites abaixo.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
As informações que temos do enunciado:
- Numerador:
. - Denominador:
. - A pergunta é somente: qual é o valor desse limite quando
tende para .
Observação inicial (apenas informação, sem resolver ainda): se substituirmos
diretamente em cada polinômio obtemos
ou seja, a forma é
— um indeterminado. Por isso precisamos manipular algébrica e cuidadosamente a expressão antes de avaliar o limite.
Passo 2
Lembrete didático curto sobre divisão de polinômios e limites:
- A divisão euclidiana de polinômios diz que, dados um dividendo
e um divisor com , existem polinômios (quociente) e (resto) tais que
com
(ou
). Então
- Para limites: se ao fazer essa divisão o resto for
, então a fração coincide (para todo onde o divisor não é zero) com o polinômio , que é contínuo, e o limite no ponto se obtém apenas substituindo esse ponto em . - Em termos práticos: dividir polinômios é parecido com divisão de números: determina-se termo a termo o quociente usando os termos de maior grau, multiplica-se e subtrai-se para obter o resto, e repete-se até que o grau do resto seja menor que o do divisor.
Vou aplicar essa divisão ao nosso caso: dividir o numerador
pelo divisor
.
Passo 3
Primeiro passo da divisão (termo dominante):
- Compare termos de maior grau: o termo dominante do dividendo é
e do divisor é . - O primeiro termo do quociente é
- Multiplica-se o divisor por esse termo
:
- Subtrai-se esse produto do dividendo para obter o resto parcial:
Portanto, após a primeira etapa temos quociente parcial
e resto atual
.
Passo 4
Segundo passo da divisão (continuar até o grau do resto ser menor que o do divisor):
- Agora o resto atual tem termo dominante
, e o divisor tem termo dominante . O próximo termo do quociente é
- Multiplica-se o divisor por
:
- Subtrai-se esse produto do resto anterior:
O resto final é
. Assim a divisão é exata e o quociente completo é
Passo 5
Interpretação e conclusão usando o resultado da divisão:
- Como
, temos para todo tal que ,
- A função dada coincide com o polinômio
em todos os pontos onde o denominador não é zero (ou seja, exceto em e ). O limite em depende apenas do comportamento arbitrariamente próximo de , e polinômios são funções contínuas. Então
- Agora avalia-se o polinômio em
:
Passo 6
Comentário extra (método alternativo e interpretação prática para a prova):
- Alternativa: podia-se também fatorar os polinômios para ver o cancelamento. De fato, fatorando o numerador por agrupamento:
O denominador fatoriza como
Cancelando
obtemos novamente
.
- Interpretação: a forma
indica uma descontinuidade removível em ; o procedimento (divisão ou fatoração) remove o fator comum e permite avaliar o limite substituindo normalmente no polinômio resultante. - Dica para a prova: ao ver
com polinômios, tente fatorar (procurar raízes inteiras óbvias) ou fazer divisão de polinômios para simplificar; isso costuma ser rápido e confiável.