Funções definidas por partes: Para cada função abaixo, determine se o limite existe no ponto indicado.
f(x)= \begin{cases}x^{2}+1, & \text { se } x<2 \\\\ 3 x-1, & \text { se } x \geq 2\end{cases}
Determine \lim _{x \rightarrow 2} f(x).
Passo 1
O enunciado dá uma função definida por partes e pede o limite quando x tende a 2. As informações são:
Para x<2: f(x)=x^{2}+1.
Para x\geq 2: f(x)=3x-1.
O que é pedido: determinar \lim_{x\to 2} f(x).
Passo 2
O que significa calcular \lim_{x\to 2} f(x) num caso de função por partes?
Quando a função tem regras diferentes à esquerda e à direita de x=2, devemos calcular as duas limitações laterais:
a limite pela esquerda: \lim_{x\to 2^-} f(x), que usa a expressão válida para x<2;
a limite pela direita: \lim_{x\to 2^+} f(x), que usa a expressão válida para x>2 (ou x\geq2 quando apropriado).
A definição prática que usamos: \lim_{x\to 2} f(x) existe e é igual a um número L se, e somente se,\lim_{x\to 2^-} f(x)=\lim_{x\to 2^+} f(x)=L.
Se as duas forem diferentes, o limite em 2 não existe.
Passo 3
Observação sobre as fórmulas que aparecem nas duas partes:
A expressão para x<2 é x^{2}+1, que é um polinômio (polinômios são funções contínuas em todo lugar).
A expressão para x\geq2 é 3x-1, que é uma função linear (também contínua em todo lugar).
Propriedade útil (que vale para a prova): se g(x) é polinômio ou função linear, então \lim_{x\to a} g(x)=g(a). Ou seja, para essas funções basta substituir x=a para obter o limite.
Passo 4
Calcular a limite pela esquerda:
Usamos a expressão válida para x<2, que é x^{2}+1. Portanto
Como as duas são iguais, a limite bilateral existe e vale esse mesmo número. Além disso, como f(2) é dado pela regra 3x-1 (porque x=2 pertence à parte x\geq2), temos f(2)=3\cdot2-1=5, ou seja, a função é contínua em x=2.
Dica de prova/exame: sempre calcule as duas limites laterais quando a função for por partes. Se ambas coincidirem, o limite existe e é esse valor; se não coincidirem, o limite não existe.