Funções definidas por partes: Para cada função abaixo, determine se o limite existe no ponto indicado.
f(x)= \begin{cases}x^{2}+1, & \text { se } x<2 \\\\ 3 x-1, & \text { se } x \geq 2\end{cases}
Determine \lim _{x \rightarrow 2} f(x).

Passo 1

O enunciado dá uma função definida por partes e pede o limite quando x tende a 2. As informações são:
  • Para x<2: f(x)=x^{2}+1.
  • Para x\geq 2: f(x)=3x-1.
O que é pedido: determinar \lim_{x\to 2} f(x).

Passo 2

O que significa calcular \lim_{x\to 2} f(x) num caso de função por partes?
  • Quando a função tem regras diferentes à esquerda e à direita de x=2, devemos calcular as duas limitações laterais:
    • a limite pela esquerda: \lim_{x\to 2^-} f(x), que usa a expressão válida para x<2;
    • a limite pela direita: \lim_{x\to 2^+} f(x), que usa a expressão válida para x>2 (ou x\geq2 quando apropriado).
  • A definição prática que usamos: \lim_{x\to 2} f(x) existe e é igual a um número L se, e somente se, \lim_{x\to 2^-} f(x)=\lim_{x\to 2^+} f(x)=L.
Se as duas forem diferentes, o limite em 2 não existe.

Passo 3

Observação sobre as fórmulas que aparecem nas duas partes:
  • A expressão para x<2 é x^{2}+1, que é um polinômio (polinômios são funções contínuas em todo lugar).
  • A expressão para x\geq2 é 3x-1, que é uma função linear (também contínua em todo lugar).
Propriedade útil (que vale para a prova): se g(x) é polinômio ou função linear, então \lim_{x\to a} g(x)=g(a). Ou seja, para essas funções basta substituir x=a para obter o limite.

Passo 4

Calcular a limite pela esquerda:
Usamos a expressão válida para x<2, que é x^{2}+1. Portanto
\lim_{x\to 2^-} f(x)=\lim_{x\to 2^-} \bigl(x^{2}+1\bigr).
Pela continuidade do polinômio, podemos substituir x=2:
\lim_{x\to 2^-} \bigl(x^{2}+1\bigr)=2^{2}+1.
Fazendo as contas:
2^{2}+1=4+1=5.
Logo \lim_{x\to 2^-} f(x)=5.

Passo 5

Calcular a limite pela direita:
Usamos a expressão válida para x\geq2, que é 3x-1. Portanto
\lim_{x\to 2^+} f(x)=\lim_{x\to 2^+} \bigl(3x-1\bigr).
Pela continuidade da função linear, substituímos x=2:
\lim_{x\to 2^+} \bigl(3x-1\bigr)=3\cdot 2-1.
Fazendo as contas:
3\cdot 2-1=6-1=5.
Logo \lim_{x\to 2^+} f(x)=5.

Passo 6

Comparação das duas limites laterais:
\lim_{x\to 2^-} f(x)=5 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 2^+} f(x)=5.
Como as duas são iguais, a limite bilateral existe e vale esse mesmo número. Além disso, como f(2) é dado pela regra 3x-1 (porque x=2 pertence à parte x\geq2), temos f(2)=3\cdot2-1=5, ou seja, a função é contínua em x=2.
Dica de prova/exame: sempre calcule as duas limites laterais quando a função for por partes. Se ambas coincidirem, o limite existe e é esse valor; se não coincidirem, o limite não existe.

Resposta

5

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