Divisibilidade
240 é divisível por: ______
135 é divisível por: ______
57 é divisível por: ______

Passo 1

O enunciado traz três números e pede, para cada um, preencher “é divisível por: ______”. Ou seja, para cada número devemos listar todos os inteiros positivos que o dividem exatamente (sem resto). As informações dadas são:
  • O número 240.
  • O número 135.
  • O número 57.

Passo 2

O que significa “ser divisível por”? Vou explicar de um jeito simples: dizemos que um número inteiro positivo a é divisor de outro inteiro positivo n quando existe um inteiro k tal que n = a\cdot k. Ex.: 3 é divisor de 12 porque 12 = 3\cdot 4.
Regras práticas rápidas (úteis na prova) para testar divisibilidade por pequenos números:
  • Divisível por 2: o último dígito é par (0,2,4,6,8).
  • Divisível por 5: o último dígito é 0 ou 5.
  • Divisível por 10: o último dígito é 0.
  • Divisível por 3: soma dos dígitos é múltipla de 3.
  • Divisível por 9: soma dos dígitos é múltipla de 9.
  • Divisível por 4: os dois últimos dígitos formam número divisível por 4.
  • Divisível por 6: é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
    Essas regras ajudam a identificar alguns divisores rapidamente. Mas para listar todos os divisores de um número maior de forma segura e sistemática, usamos fatoração em primos — é o método que vou aplicar.

Passo 3

Explico rapidamente a ideia de fatoração em primos: todo número inteiro positivo maior que 1 pode ser escrito como produto de números primos (único até ordem). Se
n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2}\cdots p_m^{\alpha_m},
onde cada p_i é primo e \alpha_i é um inteiro positivo, então todo divisor de n tem a forma
d = p_1^{\beta_1} p_2^{\beta_2}\cdots p_m^{\beta_m},
com 0\le \beta_i \le \alpha_i. Isso gera todas as combinações possíveis de expoentes.
Agora vamos fatorar 240 passo a passo (dividindo por primos pequenos):
  • 240 é par, divido por 2: 240 = 2\cdot 120.
  • 120 é par, divido por 2: 120 = 2\cdot 60.
  • 60 é par, divido por 2: 60 = 2\cdot 30.
  • 30 é par, divido por 2: 30 = 2\cdot 15.
  • 15 não é par, experimento 3: 15 = 3\cdot 5.
  • 5 é primo.
Juntando, temos as potências de 2 que apareceram quatro vezes, um 3 e um 5. Então
240 = 2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^1.
Aqui \alpha_1=4 para p_1=2, \alpha_2=1 para p_2=3 e \alpha_3=1 para p_3=5.

Passo 4

Como gerar todos os divisores de 240: para cada primo p_i escolhemos um expoente \beta_i entre 0 e \alpha_i. Ou seja:
  • \beta_1\in\{0,1,2,3,4\} para o fator 2.
  • \beta_2\in\{0,1\} para o fator 3.
  • \beta_3\in\{0,1\} para o fator 5.
Vou construir as combinações de forma organizada. Primeiro tomo os divisores sem o fator 5 ( \beta_3=0), isto é 2^{\beta_1}\cdot 3^{\beta_2}:
  • \beta_2=0: 2^0=1, 2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16.
  • \beta_2=1: 3\cdot 2^0=3, 3\cdot 2^1=6, 3\cdot 2^2=12, 3\cdot 2^3=24, 3\cdot 2^4=48.
Juntando e ordenando esses obtive: 1,2,3,4,6,8,12,16,24,48.
Agora multiplico cada um desses por 5 ( \beta_3=1) para as combinações com 5:
  • 5,10,15,20,30,40,60,80,120,240.
Unindo tudo e ordenando, os divisores positivos de 240 são:
1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,16,20,24,30,40,48,60,80,120,240.

Passo 5

Agora fatoro 135. Soma dos dígitos 1+3+5=9, logo 135 é divisível por 3 e por 9, então 3 aparece na fatoração.
  • 135\div 3 = 45.
  • 45\div 3 = 15.
  • 15\div 3 = 5.
  • 5 é primo.
Assim
135 = 3^3 \cdot 5^1.
Os expoentes são \alpha_1=3 para 3 e \alpha_2=1 para 5. Os expoentes possíveis: \beta_1\in\{0,1,2,3\}, \beta_2\in\{0,1\}.
Gerando:
  • Sem o 5 ( \beta_2=0): 3^0=1, 3^1=3, 3^2=9, 3^3=27.
  • Com o 5 ( \beta_2=1): 5, 15, 45, 135.
Ordenando:
1,3,5,9,15,27,45,135.

Passo 6

Agora fatoro 57. Testes rápidos: 57 é ímpar (não divisível por 2); soma dos dígitos 5+7=12 é múltipla de 3, então é divisível por 3. Faço a divisão:
  • 57\div 3 = 19.
    E 19 é primo. Logo
57 = 3^1 \cdot 19^1.
Os expoentes possíveis são \beta_1\in\{0,1\} e \beta_2\in\{0,1\}. Os divisores são as combinações:
  • sem 3 nem 19: 1.
  • com 3: 3.
  • com 19: 19.
  • com 3 e 19: 57.
Ordenando:
1,3,19,57.

Passo 7

Recapitulando: usei fatoração em primos para cada número e gerei todas as combinações de expoentes para listar os divisores. Isso é confiável e rápido na prova se você souber fazer a fatoração em primos com divisões sucessivas por primos pequenos (2,3,5,7,11,…). A seguir estão as respostas finais.

Resposta

240 é divisível por: 1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,16,20,24,30,40,48,60,80,120,240
135 é divisível por: 1,3,5,9,15,27,45,135
57 é divisível por: 1,3,19,57

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