Divisibilidade
240 é divisível por: ______
135 é divisível por: ______
57 é divisível por: ______
135 é divisível por: ______
57 é divisível por: ______
Passo 1
O enunciado traz três números e pede, para cada um, preencher “é divisível por: ______”. Ou seja, para cada número devemos listar todos os inteiros positivos que o dividem exatamente (sem resto). As informações dadas são:
- O número
. - O número
. - O número
.
Passo 2
O que significa “ser divisível por”? Vou explicar de um jeito simples: dizemos que um número inteiro positivo
é divisor de outro inteiro positivo
quando existe um inteiro
tal que
. Ex.:
é divisor de
porque
.
Regras práticas rápidas (úteis na prova) para testar divisibilidade por pequenos números:
- Divisível por
: o último dígito é par (0,2,4,6,8). - Divisível por
: o último dígito é ou . - Divisível por
: o último dígito é . - Divisível por
: soma dos dígitos é múltipla de . - Divisível por
: soma dos dígitos é múltipla de . - Divisível por
: os dois últimos dígitos formam número divisível por . - Divisível por
: é divisível por e por ao mesmo tempo.
Essas regras ajudam a identificar alguns divisores rapidamente. Mas para listar todos os divisores de um número maior de forma segura e sistemática, usamos fatoração em primos — é o método que vou aplicar.
Passo 3
Explico rapidamente a ideia de fatoração em primos: todo número inteiro positivo maior que
pode ser escrito como produto de números primos (único até ordem). Se
onde cada
é primo e
é um inteiro positivo, então todo divisor de
tem a forma
com
. Isso gera todas as combinações possíveis de expoentes.
Agora vamos fatorar
passo a passo (dividindo por primos pequenos):
-
é par, divido por : . -
é par, divido por : . -
é par, divido por : . -
é par, divido por : . -
não é par, experimento : . -
é primo.
Juntando, temos as potências de
que apareceram quatro vezes, um
e um
. Então
Aqui
para
,
para
e
para
.
Passo 4
Como gerar todos os divisores de
: para cada primo
escolhemos um expoente
entre
e
. Ou seja:
-
para o fator . -
para o fator . -
para o fator .
Vou construir as combinações de forma organizada. Primeiro tomo os divisores sem o fator
(
), isto é
:
-
: , , , , . -
: , , , , .
Juntando e ordenando esses obtive:
.
Agora multiplico cada um desses por
(
) para as combinações com
:
-
.
Unindo tudo e ordenando, os divisores positivos de
são:
Passo 5
Agora fatoro
. Soma dos dígitos
, logo
é divisível por
e por
, então
aparece na fatoração.
-
. -
. -
. -
é primo.
Assim
Os expoentes são
para
e
para
. Os expoentes possíveis:
,
.
Gerando:
- Sem o
( ): , , , . - Com o
( ): .
Ordenando:
Passo 6
Agora fatoro
. Testes rápidos:
é ímpar (não divisível por
); soma dos dígitos
é múltipla de
, então é divisível por
. Faço a divisão:
-
.
Eé primo. Logo
Os expoentes possíveis são
e
. Os divisores são as combinações:
- sem
nem : . - com
: . - com
: . - com
e : .
Ordenando:
Passo 7
Recapitulando: usei fatoração em primos para cada número e gerei todas as combinações de expoentes para listar os divisores. Isso é confiável e rápido na prova se você souber fazer a fatoração em primos com divisões sucessivas por primos pequenos (2,3,5,7,11,…). A seguir estão as respostas finais.
Resposta
240 é divisível por:
135 é divisível por:
57 é divisível por: