Seja z=2 i^3+(4+5 i)(2+i)^2. Identifique e represente no plano complexo os elementos inversos de z (da adição e da multiplicação), bem como seu conjugado.

Passo 1

O enunciado define
z = 2,i^3 + (4 + 5,i)(2 + i)^2
e pede (i) o inverso aditivo de z, (ii) o inverso multiplicativo de z e (iii) o conjugado de z. Para isso vamos primeiro calcular z em forma a+bi; depois encontramos -z, z^-1 e z.

Passo 2

Calcular o numerador e o denominador separadamente. Como i^3 = -i,
2,i^3 + (4 + 5,i) = 2(-i) + 4 + 5,i = 4 + 3,i
E
(2 + i)^2 = 4 + 4,i + i^2 = 4 + 4,i - 1 = 3 + 4,i
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z = 4 + 3,i3 + 4,i

Passo 3

Para escrever em forma a+bi multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de 3+4i:
z = (4+3,i)(3-4,i)(3+4,i)(3-4,i) = 12 -16,i +9,i -12,i^23^2+4^2 = 12 -7,i +1225 = 2425 - 725,i

Passo 4

Agora obtemos os elementos inversos e o conjugado:
  1. Inverso aditivo:
-z = -l(2425 - 725,ir) = -2425 + 725,i
  1. Conjugado:
z = 2425 + 725,i
  1. Inverso multiplicativo: como
    lvert zrvert^2 = l(tfrac2425r)^2+l(-tfrac725r)^2 =1,
    segue que
z^-1 = 1z = z = 2425 + 725,i

Passo 5

Representação no plano complexo (plano de Argand):
  • z = l(tfrac2425,-tfrac725r).
  • Inverso aditivo -z = l(-tfrac2425,tfrac725r).
  • Conjugado e inverso multiplicativo coincidem em l(tfrac2425,tfrac725r).

Resposta

O número complexo é
z = 2425 - 725,i
(a) Inverso aditivo: -z = -tfrac2425 + tfrac725,i.
(b) Inverso multiplicativo: z^-1 = tfrac2425 + tfrac725,i.
(c) Conjugado: z = tfrac2425 + tfrac725,i.

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