Diz-se que uma matriz
é semelhante à matriz
quando existe uma matriz inversível
tal que
.
(a) Mostre que se
é uma matriz semelhante a
, então
é semelhante a
.
(b) Mostre que se
é semelhante a
e
é semelhante a
, então
é semelhante a
.
(c) Prove que matrizes semelhantes tem mesmo determinante.
(a) Mostre que se
(b) Mostre que se
(c) Prove que matrizes semelhantes tem mesmo determinante.
Passo 1
O enunciado define que duas matrizes
e
são semelhantes se existe matriz inversível
tal que
Precisamos mostrar três propriedades dessa relação:
. Se
é semelhante a
então
é semelhante a
(simetria).
. Se
é semelhante a
e
é semelhante a
então
é semelhante a
(transitividade).
. Matrizes semelhantes têm o mesmo determinante (invariância do determinante).
Usaremos que o inverso de uma matriz inversível é inversível, que o produto de matrizes inversíveis é inversível, e as propriedades e
.
Usaremos que o inverso de uma matriz inversível é inversível, que o produto de matrizes inversíveis é inversível, e as propriedades
Passo 2
Suponha que
seja semelhante a
. Então existe matriz inversível
tal que
Como
é inversível, seu inverso
também é inversível. Multiplicando à esquerda por
e à direita por
obtém-se
Isto mostra que
é obtida de
por semelhança via
, ou seja,
é semelhante a
.
Passo 3
Suponha agora que
é semelhante a
via matriz
e que
é semelhante a
via matriz
:
Substituindo a expressão de
em
vem
Como
e
são inversíveis, o produto
também é inversível e
. Logo
mostrando que
é semelhante a
.
Passo 4
Para ver que o determinante é preservado, tome
com
inversível. Então
Portanto, matrizes semelhantes têm o mesmo determinante.
Resposta
(a) Se
então
, logo
é semelhante a
.
(b) Se e
então
, logo
é semelhante a
.
(c) De segue
, ou seja, matrizes semelhantes têm mesmo determinante.
(b) Se
(c) De