Diz-se que uma matriz A é semelhante à matriz B quando existe uma matriz inversível P tal que B=P A P^-1.
(a) Mostre que se A é uma matriz semelhante a B, então B é semelhante a A.
(b) Mostre que se A é semelhante a B e B é semelhante a C, então A é semelhante a C.
(c) Prove que matrizes semelhantes tem mesmo determinante.

Passo 1

O enunciado define que duas matrizes A e B são semelhantes se existe matriz inversível P tal que
B = P,A,P^-1
Precisamos mostrar três propriedades dessa relação:
1. Se A é semelhante a B então B é semelhante a A (simetria).
2. Se A é semelhante a B e B é semelhante a C então A é semelhante a C (transitividade).
3. Matrizes semelhantes têm o mesmo determinante (invariância do determinante).
Usaremos que o inverso de uma matriz inversível é inversível, que o produto de matrizes inversíveis é inversível, e as propriedades det(XY)=det X,det Y e det(X^-1)=(det X)^-1.

Passo 2

Suponha que A seja semelhante a B. Então existe matriz inversível P tal que
B = P,A,P^-1
Como P é inversível, seu inverso P^-1 também é inversível. Multiplicando à esquerda por P^-1 e à direita por P obtém-se
A = P^-1,B,P
Isto mostra que A é obtida de B por semelhança via P^-1, ou seja, B é semelhante a A.

Passo 3

Suponha agora que A é semelhante a B via matriz P e que B é semelhante a C via matriz Q:
B = P,A,P^-1, C = Q,B,Q^-1
Substituindo a expressão de B em C vem
C = Q,(P,A,P^-1),Q^-1 = (Q,P),A,(P^-1,Q^-1)
Como P e Q são inversíveis, o produto Q,P também é inversível e (Q,P)^-1=P^-1,Q^-1. Logo
C = (Q,P),A,(Q,P)^-1,
mostrando que A é semelhante a C.

Passo 4

Para ver que o determinante é preservado, tome B = P,A,P^-1 com P inversível. Então
det B = detl(P,A,P^-1r) = det P;det A;det P^-1 = det P;det A;(det P)^-1 = det A
Portanto, matrizes semelhantes têm o mesmo determinante.

Resposta

(a) Se B=P,A,P^-1 então A=P^-1,B,P, logo B é semelhante a A.
(b) Se B=P,A,P^-1 e C=Q,B,Q^-1 então
;C=(Q,P),A,(Q,P)^-1, logo A é semelhante a C.
(c) De B=P,A,P^-1 segue det B=det A, ou seja, matrizes semelhantes têm mesmo determinante.

Exercícios relacionados