Usando operações elementares sobre as linhas da matriz aumentada de cada um dos sistemas lineares abaixo, determine os valores de e para os quais o sistema não tem solução, tem exatamente uma solução e tem infinitas soluções.
(i)
Passo 1
O enunciado dá um sistema com três incógnitas x,y,z e quatro equações, contendo o parâmetro a. O conteúdo matemático é classificação de sistemas lineares (sem solução, única solução ou infinitas soluções) via operações elementares na matriz aumentada e análise de posto.
Passo 2
Escrevemos a matriz aumentada e subtraímos a primeira linha das outras para zerar a primeira coluna abaixo de :
Passo 3
Notamos que . Subtraímos de e eliminamos o coeficiente em somando vezes :
Passo 4
Da linha 3 temos a equação
(a-2)(a+1),z = 2 - a
Agora analisamos os casos conforme o fator (a-2)(a+1).
Passo 5
Se (a-2)(a+1)neq 0 (isto é, aneq2 e aneq -1), podemos isolar
z = 2-a(a-2)(a+1),
e então y e x são determinados sem liberdade. Logo há exatamente uma solução.
Se a=2, então (a-2)(a+1)=0 e 2-a=0, a equação da linha 3 vira 0=0. Da linha 2 vem y=1 e z fica livre, gerando infinitas soluções.
Se a=-1, então (a-2)(a+1)=0 mas 2-a=3neq0, a linha 3 vira 0=3, contradição: não há solução.