Usando operações elementares sobre as linhas da matriz aumentada de cada um dos sistemas lineares abaixo, determine os valores de a e b para os quais o sistema não tem solução, tem exatamente uma solução e tem infinitas soluções.
(i) lx+y-a z=0 x+2 y-2 z=1 x+(1-a) y-2 z=2-2 a 2 x+3 y-(2+a) z=1

Passo 1

O enunciado dá um sistema com três incógnitas x,y,z e quatro equações, contendo o parâmetro a. O conteúdo matemático é classificação de sistemas lineares (sem solução, única solução ou infinitas soluções) via operações elementares na matriz aumentada e análise de posto.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e subtraímos a primeira linha das outras para zerar a primeira coluna abaixo de :

Passo 3

Notamos que . Subtraímos de e eliminamos o coeficiente em somando vezes :

Passo 4

Da linha 3 temos a equação
(a-2)(a+1),z = 2 - a
Agora analisamos os casos conforme o fator (a-2)(a+1).

Passo 5

  • Se (a-2)(a+1)neq 0 (isto é, aneq2 e aneq -1), podemos isolar
z = 2-a(a-2)(a+1),
e então y e x são determinados sem liberdade. Logo há exatamente uma solução.
  • Se a=2, então (a-2)(a+1)=0 e 2-a=0, a equação da linha 3 vira 0=0. Da linha 2 vem y=1 e z fica livre, gerando infinitas soluções.
  • Se a=-1, então (a-2)(a+1)=0 mas 2-a=3neq0, a linha 3 vira 0=3, contradição: não há solução.

Resposta

Para o sistema dado:
  • Não tem solução se a = -1.
  • Tem infinitas soluções se a = 2.
  • Tem exatamente uma solução se a neq -1 e a neq 2.

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