Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
( ) Dada a equação matricial X^2+2 X=0, onde X é uma matriz quadrada de ordem n, não singular. Então esta equação tem única solução.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, na equação matricial
X^2 + 2X = 0,
com X quadrada de ordem n e não singular, existe uma única solução.
Conteúdo: fatoração em anel de matrizes e uso da propriedade de matriz invertível (zero divisor).

Passo 2

Reescrevemos a equação em forma fatorada:
X^2 + 2X = X(X + 2In) = 0

Passo 3

Como X é invertível, podemos multiplicar à esquerda por X^-1. Obtém-se
X^-1,X,(X + 2In)=X + 2In = 0
e, portanto,
X = -2In

Passo 4

Não há outra solução invertível, pois a única forma de anular o produto X(X+2In) com X invertível é fazer X+2In=0. Logo X=-2In é única solução no conjunto das matrizes não singulares.

Resposta

Verdadeiro. A única solução não singular é X=-2In.

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