Diz-se que o ponto A^prime é o simétrico do ponto A em relação à reta L quando L é a mediatriz do segmento A A^prime. Em cada caso determinar o ponto simétrico dada a condição anexa:
P=(-2,0) em relação à reta diagonal.

Passo 1

O enunciado pede o ponto P'=(X,Y) simétrico de P=(-2,0) em relação à reta diagonal L. Aqui o conteúdo é reflexão de um ponto em torno de uma reta: a reta L deve ser mediatriz do segmento PP'.

Passo 2

Seja P=(x,y) e P'=(X,Y). A condição de mediatriz impõe que o ponto médio de PP' pertence a L e que PP' é perpendicular a L. Como L é a reta diagonal y=x, seu coeficiente angular é 1 e a perpendicular a ela tem coeficiente -1.

Passo 3

Escrevemos as duas equações que X e Y devem satisfazer:
x+X2 ;=;y+Y2
Y-yX-x ;=;-1
A primeira garante que o ponto médio de PP' está em L. A segunda, que PP' é perpendicular a L.

Passo 4

Substituímos x=-2 e y=0 nas duas equações:
-2+X2 ;=;0+Y2 Longrightarrow -2 + X = Y
Y-0X+2 ;=;-1 Longrightarrow Y = -(X+2)

Passo 5

Resolvendo o sistema
Y = -2 + X, Y = -X - 2,
igualamos as expressões para Y:
-2 + X = -X - 2 Longrightarrow 2X = 0 Longrightarrow X = 0
Em seguida,
Y = -l(0 + 2r) = -2

Resposta

(0,-2)

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