Quando se diz que a troca de calor por radiação é dada por:
Essa informação pode ser substituída por um contorno de:
( ) Primeira espécie ⇒ para
( ) Segunda espécie ⇒ para
( ) Terceira espécie ⇒ para
Essa informação pode ser substituída por um contorno de:
( ) Primeira espécie ⇒ para
( ) Segunda espécie ⇒ para
( ) Terceira espécie ⇒ para
Passo 1
O enunciado dá a troca de calor por radiação na forma
e pergunta qual tipo de contorno isso pode substituir entre:
- Primeira espécie: para
. - Segunda espécie: para
. - Terceira espécie: para
.
Vou listar claramente o que é pedido: identificar se a condição radiativa corresponde exatamente a uma condição de primeira, segunda ou terceira espécie, ou se pode ser representada por alguma delas (exatamente ou aproximadamente).
Passo 2
Entender o que cada tipo de contorno significa (explicação didática e simples).
- Primeira espécie (Dirichlet): fixa a temperatura na fronteira. Exemplo:
. Aqui a temperatura da superfície é imposta como um valor conhecido e não aparece derivada nem fluxo. - Segunda espécie (Neumann): fixa o fluxo de calor na fronteira. Exemplo:
em . Aqui o valor do fluxo é especificado (pode depender de outros parâmetros). - Terceira espécie (Robin / convecção): relaciona o fluxo com a diferença de temperatura entre superfície e meio. Exemplo:
. Aqui aparece um coeficiente e a diferença térmica entre superfície e ambiente.
Resumo didático: se a condição dá diretamente um valor de
, é primeira; se dá diretamente um valor de fluxo
, é segunda; se dá um fluxo proporcional à diferença de temperaturas (com um coeficiente
constante), é terceira.
Passo 3
Comparar a expressão radiativa com as formas das condições.
A expressão radiativa fornece explicitamente o fluxo superficial (dependendo de
e de
):
A expressão radiativa fornece explicitamente o fluxo superficial
Quando se impõe o balanço na superfície, esse fluxo aparece ligado ao gradiente térmico pela lei de condução:
Portanto, sem nenhuma aproximação, a condição radiativa é uma condição que especifica o fluxo — isto é, corresponde exatamente a uma condição de segunda espécie (Neumann), com
igual à expressão radiativa.
Passo 4
Mostrar como a condição radiativa pode ser reescrita na forma “terceira espécie” (Robin) — isto é, transformar o termo radiativo numa forma proporcional a
.
Fatorando a diferença de quartos:
Fatorando a diferença de quartos:
Logo
Se definirmos um coeficiente radiativo equivalente dependente de temperatura
então podemos escrever exatamente
Comparando com a condição de terceira espécie, temos a forma
ou seja, a borda radiativa pode ser colocada na forma Robin, desde que se aceite que o “coeficiente”
depende de
(e de
) — é não linear.
Passo 5
Explicar a linearização usual (quando se quer um
constante) e quando é válida.
- Para facilitar a resolução (por exemplo, em aulas ou problemas práticos), costuma-se linearizar a expressão radiativa em torno de uma temperatura de referência
. A expansão de Taylor de leva à aproximação
onde uma escolha prática para
é
- Uma escolha comum é
ou simplesmente se as temperaturas não diferem muito. Essa aproximação transforma a condição radiativa numa verdadeira condição de terceira espécie com constante — muito útil para resolver problemas analíticos e para comparar com convecção.
Regra prática: se as temperaturas envolvidas não diferem muito, usar
dá uma boa aproximação; se a diferença for grande, a forma exata (segunda espécie com
não linear) deve ser usada.
Passo 6
Concluir diretamente qual opção corresponde a quê (resumo final e encorajamento).
- Exatamente, sem aproximação, a condição radiativa especifica o fluxo: isso é uma condição de segunda espécie (Neumann) com
e, portanto, igual a na superfície. - Alternativamente, pode-se reescrever exatamente na forma Robin com um
dependente de (não linear). E, comumente, se lineariza para obter uma terceira espécie com constante aproximado por .
Força aí — não deixe a notação assustar: pense primeiro se a condição dá temperatura (primeira), fluxo (segunda) ou fluxo proporcional à diferença (terceira). A radiação te dá o fluxo, e pronto — é segunda; se quiser, transforma em terceira por linearização.
Resposta
Primeira espécie: Não
Segunda espécie: Sim — exatamente, em
.
Terceira espécie: Sim — aproximada via linearização, com (exata, porém dependente de
) ou com
(aproximação com
constante).
Segunda espécie: Sim — exatamente,
Terceira espécie: Sim — aproximada via linearização, com