Sejam m, n \in \mathbb{N} tal que m^{2}<2 n^{2}. Prove que
(m+2 n)^{2}>2(m+n)^{2} \quad \text { e } \quad \frac{(m+2 n)^{2}}{(m+n)^{2}}-2<2-\frac{m^{2}}{n^{2}} .

Passo 1

O enunciado assume m,n\in\mathbb{N} com
m^{2}<2\,n^{2}
e pede para provar as duas desigualdades
(m+2n)^{2}>2\,(m+n)^{2} \quad\text{e}\quad \frac{(m+2n)^{2}}{(m+n)^{2}}-2<2-\frac{m^{2}}{n^{2}}.
O conteúdo usado será manipulação algébrica de desigualdades e expansão de quadrados, tomando cuidado em preservar o sentido das desigualdades ao multiplicar por termos positivos.

Passo 2

Prova de (m+2n)^{2}>2\,(m+n)^{2}.
Expandindo ambos os lados:
(m+2n)^{2}=m^{2}+4mn+4n^{2},
2\,(m+n)^{2}=2m^{2}+4mn+2n^{2}.
Subtraindo segundo do primeiro,
(m+2n)^{2}-2\,(m+n)^{2} =\bigl(m^{2}+4mn+4n^{2}\bigr)-\bigl(2m^{2}+4mn+2n^{2}\bigr) =-m^{2}+2n^{2}.
Como por hipótese -m^{2}+2n^{2}>0, segue (m+2n)^{2}>2\,(m+n)^{2}.

Passo 3

Prova de
\displaystyle\frac{(m+2n)^{2}}{(m+n)^{2}}-2<2-\frac{m^{2}}{n^{2}}.
Começamos reescrevendo
\frac{(m+2n)^{2}}{(m+n)^{2}}-2<2-\frac{m^{2}}{n^{2}} \;\Longleftrightarrow\; 4-\frac{(m+2n)^{2}}{(m+n)^{2}}>\frac{m^{2}}{n^{2}}.
No lado esquerdo,
4-\frac{(m+2n)^{2}}{(m+n)^{2}} =\frac{4\,(m+n)^{2}-(m+2n)^{2}}{(m+n)^{2}} =\frac{4m^{2}+8mn+4n^{2}-(m^{2}+4mn+4n^{2})}{(m+n)^{2}} =\frac{3m^{2}+4mn}{(m+n)^{2}}.
Logo queremos
\frac{3m^{2}+4mn}{(m+n)^{2}}>\frac{m^{2}}{n^{2}} \;\Longleftrightarrow\; n^{2}(3m^{2}+4mn)>m^{2}(m+n)^{2}.
Expandindo,
n^{2}(3m^{2}+4mn)=3m^{2}n^{2}+4mn^{3}, \quad m^{2}(m+n)^{2}=m^{4}+2m^{3}n+m^{2}n^{2}.
A desigualdade torna-se
3m^{2}n^{2}+4mn^{3}>\;m^{4}+2m^{3}n+m^{2}n^{2} \;\Longleftrightarrow\; (m+2n)(\,m^{2}-2n^{2})<0,
pois reunindo termos obtemos (m+2n)(m^{2}-2n^{2}). Como m+2n>0, basta m^{2}-2n^{2}<0, que é precisamente a hipótese. Portanto a segunda desigualdade também vale.

Resposta

As duas desigualdades são verdadeiras sob a hipótese m^{2}<2\,n^{2}.

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