Sejam
tal que
. Prove que
Passo 1
O enunciado assume
com
e pede para provar as duas desigualdades
O conteúdo usado será manipulação algébrica de desigualdades e expansão de quadrados, tomando cuidado em preservar o sentido das desigualdades ao multiplicar por termos positivos.
Passo 2
Prova de
.
Expandindo ambos os lados:
Expandindo ambos os lados:
Subtraindo segundo do primeiro,
Como por hipótese
, segue
.
Passo 3
Prova de
.
Começamos reescrevendo
Começamos reescrevendo
No lado esquerdo,
Logo queremos
Expandindo,
A desigualdade torna-se
pois reunindo termos obtemos
. Como
, basta
, que é precisamente a hipótese. Portanto a segunda desigualdade também vale.
Resposta
As duas desigualdades são verdadeiras sob a hipótese
.