Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e A^prime sua transposta, determine A tal que A=2 A^prime.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma matriz quadrada A de ordem 2 tal que ela seja igual a duas vezes a sua transposta A' . Isso envolve conceitos de matrizes, transposição e equações matriciais. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma matriz transposta e como montar e resolver equações envolvendo matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta A' de uma matriz A é obtida trocando suas linhas por colunas. Por exemplo, se A for uma matriz 2x2:
A = a & b c & d
Então, a transposta A' será:
A' = a & c b & d

Passo 3

Agora, de acordo com o enunciado, A = 2A' . Vamos substituir A e A' nas equações:
a & b c & d = 2 a & c b & d
Isso nos dá:
a & b c & d = 2a & 2c 2b & 2d

Passo 4

Agora, vamos igualar cada elemento correspondente das matrizes:
  1. a = 2a
  2. b = 2c
  3. c = 2b
  4. d = 2d

Passo 5

Vamos resolver essas equações uma por uma:
  1. De a = 2a , subtraindo a dos dois lados: 0 = a a = 0 .
  2. De d = 2d , subtraindo d dos dois lados: 0 = d d = 0 .
  3. De b = 2c e c = 2b , podemos substituir b na segunda equação: c = 2(2c) c = 4c .
    • Subtraindo c dos dois lados: 0 = 3c c = 0 .
    • E como c = 0 , de b = 2c : b = 0 .

Resposta

A matriz A que satisfaz a condição A = 2A' é a matriz zero:
A = 0 & 0 0 & 0

Exercícios relacionados