Se é uma matriz quadrada de ordem 2 e sua transposta, determine tal que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma matriz quadrada de ordem 2 tal que ela seja igual a duas vezes a sua transposta . Isso envolve conceitos de matrizes, transposição e equações matriciais. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma matriz transposta e como montar e resolver equações envolvendo matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Por exemplo, se for uma matriz 2x2:
Então, a transposta será:
Passo 3
Agora, de acordo com o enunciado, . Vamos substituir e nas equações:
Isso nos dá:
Passo 4
Agora, vamos igualar cada elemento correspondente das matrizes:
a = 2a
b = 2c
c = 2b
d = 2d
Passo 5
Vamos resolver essas equações uma por uma:
De a = 2a , subtraindo a dos dois lados: 0 = a → a = 0 .
De d = 2d , subtraindo d dos dois lados: 0 = d → d = 0 .
De b = 2c e c = 2b , podemos substituir b na segunda equação: c = 2(2c) → c = 4c .
Subtraindo c dos dois lados: 0 = 3c → c = 0 .
E como c = 0 , de b = 2c : b = 0 .
Resposta
A matriz A que satisfaz a condição A = 2A' é a matriz zero: