Mostre que dois vetores não nulos
e
são LD se e somente se existe
tal que:
$
\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)=\left(\lambda b_{1}, \lambda b_{2}, \lambda b_{3}\right)
$
Utilize esse critério para decidir se os vetores abaixo são LI ou LD:
$
\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)=\left(\lambda b_{1}, \lambda b_{2}, \lambda b_{3}\right)
$
Utilize esse critério para decidir se os vetores abaixo são LI ou LD:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que dois vetores não nulos
e
são linearmente dependentes (LD) se, e somente se, existe um escalar
tal que
O conteúdo é a definição de dependência linear em
e o critério de um vetor ser múltiplo escalar do outro.
Passo 2
Suponha que exista um escalar
tal que
Então
é uma combinação linear não trivial (coeficientes
e
, nenhum dos dois nulos simultaneamente) que produz o vetor nulo. Logo, por definição,
e
são LD.
Passo 3
Agora suponha que
e
sejam LD. Então existem escalares
, não ambos zero, tais que
Se
, então
e como
segue
, contradizendo a hipótese de não serem ambos zero. Logo
e podemos isolar
Seja
. Assim
, mostrando que LD implica um é múltiplo escalar do outro.
Passo 4
Aplicando ao caso
e
, notamos que
Logo existe
tal que
.
Resposta
Os vetores
e
são linearmente dependentes.