Mostre que dois vetores não nulos e são LD se e somente se existe tal que:
$
\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)=\left(\lambda b_{1}, \lambda b_{2}, \lambda b_{3}\right)
$
Utilize esse critério para decidir se os vetores abaixo são LI ou LD:

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que dois vetores não nulos
u=(a1,a2,a3) e v=(b1,b2,b3) são linearmente dependentes (LD) se, e somente se, existe um escalar lambda tal que
(a1,a2,a3)=(lambda b1,lambda b2,lambda b3)
O conteúdo é a definição de dependência linear em R^3 e o critério de um vetor ser múltiplo escalar do outro.

Passo 2

Suponha que exista um escalar lambda tal que
u=lambda,v
Então
u-lambda,v=0
é uma combinação linear não trivial (coeficientes 1 e -lambda, nenhum dos dois nulos simultaneamente) que produz o vetor nulo. Logo, por definição, u e v são LD.

Passo 3

Agora suponha que u e v sejam LD. Então existem escalares alpha,beta, não ambos zero, tais que
alpha,u+beta,v=0
Se beta=0, então alpha,u=0 e como uneq0 segue alpha=0, contradizendo a hipótese de não serem ambos zero. Logo betaneq0 e podemos isolar
u=-betaalpha,v
Seja lambda=-beta/alpha. Assim u=lambda,v, mostrando que LD implica um é múltiplo escalar do outro.

Passo 4

Aplicando ao caso u=(1,0,3) e v=(-2,0,-6), notamos que
v=-2,(1,0,3)=-2,u Longrightarrow u=-tfrac12,v
Logo existe lambda=-tfrac12 tal que u=lambda,v.

Resposta

Os vetores (1,0,3) e (-2,0,-6) são linearmente dependentes.

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