Dizemos que duas matrizes quadradas de mesmo tamanho A e B comutam se A B=B A. Encontre todas as matrizes de tamanho 2 times 2 que comutam com:
[ll3 & 0 0 & 3]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as matrizes quadradas de ordem 2 que comutam com
A = 3 & 0 0 & 3
O conteúdo aqui é produto de matrizes e a noção de comutador AB=BA. Vamos usar a propriedade de que escalares vezes a identidade comutam com qualquer matriz.

Passo 2

Seja uma matriz genérica de ordem 2
X = a & b c & d
Calculemos AX e XA:
AX = 3 & 0 0 & 3 a & b c & d = 3a & 3b 3c & 3d,
XA = a & b c & d 3 & 0 0 & 3 = 3a & 3b 3c & 3d
Para comutar, precisamos de AX = XA, ou seja,
3a & 3b 3c & 3d = 3a & 3b 3c & 3d,
o que é verdade para quaisquer a,b,c,d.

Passo 3

Como não há restrição sobre a,b,c,d, concluímos que toda matriz 2times2 comuta com A. Em outras palavras, o comutador de A é todo o espaço M2times2(R).

Resposta

,X = a & b c & d : a,b,c,dinR

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