Dizemos que duas matrizes quadradas de mesmo tamanho A e B comutam se A B=B A. Encontre todas as matrizes de tamanho 2 times 2 que comutam com:
[ll2 & 0 0 & 3]

Passo 1

O enunciado pede para achar todas as matrizes 2times 2 que comutam com a matriz diagonal
D = 2 & 0 0 & 3
O conteúdo de álgebra linear envolvido é a condição de comutatividade MD = DM.

Passo 2

Seja uma matriz genérica
M = a & b c & d
Calculamos
MD = a & b c & d 2 & 0 0 & 3 = 2a & 3b 2c & 3d,
DM = 2 & 0 0 & 3 a & b c & d = 2a & 2b 3c & 3d

Passo 3

Impondo MD = DM, igualamos as entradas correspondentes e obtemos
2a = 2a, 3d = 3d, 3b = 2b, 2c = 3c
Das equações não-triviais
3b = 2b Longrightarrow b=0,
2c = 3c Longrightarrow c=0

Passo 4

Com b=0 e c=0, a matriz M fica
M = a & 0 0 & d,
onde a e d são arbitrários. Portanto, todas as matrizes que comutam com D são as matrizes diagonais.

Resposta

la & 0 0 & dm|a,dinRr

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