Dizemos que duas matrizes quadradas de mesmo tamanho A e B comutam se A B=B A. Encontre todas as matrizes de tamanho 2 times 2 que comutam com:
[ll3 & 1 0 & 3]

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre todas as matrizes 2times 2 que comutam com
A = 3 & 1[6pt]0 & 3
Isto é, queremos todas as matrizes X tais que
AX = XA
O conteúdo é resolução de equações matriciais e uso de produtos matriciais.]

Passo 2

Vamos tomar uma matriz genérica
X = x & y[4pt]z & w,
com incógnitas x,y,z,w. Calculamos AX e XA.]

Passo 3

Primeiro,
AX =3 & 1[4pt]0 & 3 x & y[4pt]z & w =3x+z & 3y+w[4pt]3z & 3w
Em seguida,
XA =x & y[4pt]z & w 3 & 1[4pt]0 & 3 =3x & x+3y[4pt]3z & z+3w ]

Passo 4

Igualando
Da primeira equação vem .
As outras duas são triviais ou repetem .

Passo 5

Logo as incógnitas livres são x e y, enquanto z=0 e w=x. Portanto toda matriz que comuta com A é da forma
X = x & y[4pt]0 & x,
com x,y arbitrários.]

Resposta

Todas as matrizes 2times 2 que comutam com
3 & 1[4pt]0 & 3
\nsão
x & y[4pt]0 & x,
onde x e y são números quaisquer.]

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