Dizemos que duas matrizes quadradas de mesmo tamanho
e
comutam se
. Encontre todas as matrizes de tamanho
que comutam com:
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre todas as matrizes
2times 2 que comutam com
Isto é, queremos todas as matrizes
X tais que
O conteúdo é resolução de equações matriciais e uso de produtos matriciais.]
Passo 2
Vamos tomar uma matriz genérica
com incógnitas
x,y,z,w . Calculamos
AX e
XA .]
Passo 3
Primeiro,
Em seguida,
Passo 4
Igualando
Da primeira equação vem .
As outras duas são triviais ou repetem .
As outras duas são triviais ou repetem
Passo 5
Logo as incógnitas livres são
x e
y , enquanto
z=0 e
w=x . Portanto toda matriz que comuta com
A é da forma
com
x,y arbitrários.]
Resposta
Todas as matrizes
2times 2 que comutam com
3 & 1[4pt]0 & 3
\nsão
\nsão
onde
x e
y são números quaisquer.]