Verifique se sumn=0^infty 3+sen nn^2 converge ou não.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty 3+sen nn^2
converge ou não.
O conteúdo envolvido é teste de comparação com séries do tipo p-série (aqui p=2). Vamos usar o fato de que sen n é limitado em [-1,1] e comparar com a série sum 1/n^2, que sabemos convergir.

Passo 2

Como para todo n vale
-1 <= sen n <= 1,
segue
2 <= 3 + sen n <= 4
Logo, para todos os n>=1,
0 ;<; 3+sen nn^2 ;<=; 4n^2
Sabemos que
sumn=1^infty 4n^2 =4sumn=1^infty 1n^2
é convergente, pois é uma p-série com p=2>1.

Passo 3

Pela comparação com uma série convergente de termos positivos, concluímos que
sumn=1^infty 3+sen nn^2
converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge.

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