Dizemos que a função f é contínua no número a se e somente se as seguintes condições forem satisfeitas:
(i) f(a) existe;
(ii) lim x a f(x) existe;
(iii) lim x a f(x)=f(a).
Se uma ou mais de uma dessas condições não forem verificadas em a, a função f será descontínua em a.
Nos Exercícios de 23 a 32, prove que a função é descontínua no número a. Então determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível, redefina f(a) de tal modo que seja removida.
f(s)=ll1s+5 & se s neq-5 0 & se s=-5 ; a=-5

Passo 1

O enunciado define a função
f(s)= dfrac1s+5,&se sneq -5, 0,&se s=-5,
e pede para mostrar que ela é descontínua em a=-5, classificar a descontinuidade (removível ou essencial) e, se for removível, redefinir f(-5).
Para isso, usamos o critério de continuidade em a:
(i) f(a) existe;
(ii) limsto af(s) existe;
(iii) limsto af(s)=f(a).

Passo 2

Verificamos f(-5).
Pela definição,
f(-5)=0,
então a condição (i) está satisfeita.

Passo 3

Calculamos o limite de f(s) quando sto -5. Como para sneq -5 vale tfrac1s+5, temos
limsto -5^-1s+5=-infty, limsto -5^+1s+5=+infty
Como os limites laterais não coincidem (e sequer são finitos),
limsto -5f(s)
não existe. Logo a condição (ii) falha.

Passo 4

Da falha da condição (ii) segue que a condição (iii) também não vale. Portanto f é descontínua em s=-5.

Passo 5

Como o limite limsto -5f(s) não é finito (vai a pminfty), a descontinuidade é essencial (infinita) e não pode ser removida por nenhuma redefinição de f(-5).

Resposta

A função é descontínua em a=-5 por descontinuidade essencial (infinita). Não há redefinição de f(-5) que torne f contínua.

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