Identifique a curva dada pelo conjunto imagem da seguinte função vetorial:
dada por
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função vetorial que mapeia valores de
no intervalo
para pontos no plano
. Nosso objetivo aqui é identificar qual é a curva formada por todos esses pontos que a função gera. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de funções vetoriais e de como identificar curvas geométricas a partir de equações paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função vetorial dada:
Isso significa que cada valor de
vai gerar um ponto
no plano, onde:
Nosso objetivo é encontrar uma relação direta entre
e
que descreva a curva, eliminando o parâmetro
.
Passo 3
Vamos resolver as duas equações para
e
:
Sabemos que para qualquer valor de
, a relação fundamental da trigonometria é:
Vamos usar essa identidade para eliminar
.
Passo 4
Substituindo as expressões que encontramos para
e
na identidade trigonométrica:
Vamos simplificar essa equação para identificar a curva.
Passo 5
Multiplicando ambos os lados da equação por 4 para eliminar os denominadores:
Essa é a equação geral de um círculo.
Resposta
A curva descrita é um círculo com centro em
e raio igual a
.