Identifique a curva dada pelo conjunto imagem da seguinte função vetorial:
r1:[0,2 pi] R^2 dada por r1(t)=(-3+2 cos t,-2+2 sen t)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função vetorial que mapeia valores de t no intervalo [0, 2pi] para pontos no plano R^2. Nosso objetivo aqui é identificar qual é a curva formada por todos esses pontos que a função gera. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de funções vetoriais e de como identificar curvas geométricas a partir de equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função vetorial dada:
r1(t) = (-3 + 2 cos t, -2 + 2 sin t)
Isso significa que cada valor de t vai gerar um ponto (x, y) no plano, onde:
x = -3 + 2 cos t
y = -2 + 2 sin t
Nosso objetivo é encontrar uma relação direta entre x e y que descreva a curva, eliminando o parâmetro t .

Passo 3

Vamos resolver as duas equações para cos t e sin t :
cos t = x + 32
sin t = y + 22
Sabemos que para qualquer valor de t , a relação fundamental da trigonometria é:
cos^2 t + sin^2 t = 1
Vamos usar essa identidade para eliminar t .

Passo 4

Substituindo as expressões que encontramos para cos t e sin t na identidade trigonométrica:
(x + 32)^2 + (y + 22)^2 = 1
Vamos simplificar essa equação para identificar a curva.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados da equação por 4 para eliminar os denominadores:
(x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 4
Essa é a equação geral de um círculo.

Resposta

A curva descrita é um círculo com centro em (-3, -2) e raio igual a 2.

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