Verifique que a função que estende o n-ésimo termo de cada série dada abaixo atende às hipóteses do Teste da Integral e em seguida decida sobre a convergência:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série converge ou não, usando o Teste da Integral. Esse teste é uma ferramenta que usamos no cálculo para determinar se uma série infinita converge, ou seja, se a soma dos seus termos não “explode” para o infinito. Para isso, a gente vai precisar transformar o termo geral da série em uma função contínua, positiva e decrescente, que a gente pode integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que representa o termo geral da série. No caso, temos . Vamos substituir por para transformar isso em uma função contínua: .
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essa função atende às condições do Teste da Integral:
Positiva: A função está sempre positiva? Sim, porque é positivo para e também é sempre positivo.
Contínua: A função é contínua para ? Sim, e são funções contínuas, e o denominador nunca é zero.
Decrescente: A função está sempre diminuindo para ? Vamos verificar a derivada para ter certeza.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de para ver se é negativa (indicando que a função está decrescendo):
Usando a regra do quociente:
Para , , então o numerador é negativo. Portanto, para , o que significa que a função é decrescente.
Passo 5
Como a função é positiva, contínua e decrescente para , podemos aplicar o Teste da Integral. Vamos calcular a integral imprópria de de 1 até o infinito:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja , então . Reescrevendo a integral:
Integrando:
Resposta
Como a integral integral1^infty arctan xx^2+1 , dx converge para 3pi^232, pelo Teste da Integral, a série sumn=1^infty arctan nn^2+1 também converge.