Verifique que a função que estende o n-ésimo termo de cada série dada abaixo atende às hipóteses do Teste da Integral e em seguida decida sobre a convergência:
sumn=1^infty arctg nn^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série sumn=1^infty arctan nn^2+1 converge ou não, usando o Teste da Integral. Esse teste é uma ferramenta que usamos no cálculo para determinar se uma série infinita converge, ou seja, se a soma dos seus termos não “explode” para o infinito. Para isso, a gente vai precisar transformar o termo geral da série em uma função contínua, positiva e decrescente, que a gente pode integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que representa o termo geral da série. No caso, temos an = arctan nn^2+1. Vamos substituir n por x para transformar isso em uma função contínua: f(x) = arctan xx^2+1.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essa função f(x) atende às condições do Teste da Integral:
  1. Positiva: A função está sempre positiva? Sim, porque arctan x é positivo para x > 0 e x^2 + 1 também é sempre positivo.
  2. Contínua: A função é contínua para x >= 1? Sim, arctan x e x^2 + 1 são funções contínuas, e o denominador nunca é zero.
  3. Decrescente: A função está sempre diminuindo para x >= 1? Vamos verificar a derivada para ter certeza.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de f(x) para ver se é negativa (indicando que a função está decrescendo):
f'(x) = ddx( arctan xx^2+1 )
Usando a regra do quociente:
f'(x) = (1/(1+x^2))(x^2+1) - arctan x cdot 2x(x^2+1)^2 = 1 - 2x arctan x(x^2+1)^2
Para x >= 1, 2x arctan x >= 2 cdot 1 cdot arctan 1 = pi/2 > 1, então o numerador é negativo. Portanto, f'(x) < 0 para x >= 1, o que significa que a função é decrescente.

Passo 5

Como a função f(x) = arctan xx^2+1 é positiva, contínua e decrescente para x >= 1, podemos aplicar o Teste da Integral. Vamos calcular a integral imprópria de f(x) de 1 até o infinito:
integral1^infty arctan xx^2+1 , dx

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja u = arctan x, então du = 11+x^2 dx. Reescrevendo a integral:
integralu= arctan 1^u= arctan infty u , du = integralpi/4^pi/2 u , du
Integrando:
u^22 |pi/4^pi/2 = (pi/2)^22 - (pi/4)^22 = pi^28 - pi^232 = 3pi^232

Resposta

Como a integral integral1^infty arctan xx^2+1 , dx converge para 3pi^232, pelo Teste da Integral, a série sumn=1^infty arctan nn^2+1 também converge.

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